On note {\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}}. Pour {a\in\mathbb C^*}, on définit {f_a(x)=2-a/x} si {x\ne0,\infty}, et {f_a(0)=\infty}, {f_a(\infty)=2}. On pose {u_{n+1}=f_a(u_n)}, avec {u_0\in\widehat{\mathbb C}}.
On cherche notamment quand cette suite est périodique. L’hypothèse {a\ne0}, nécessaire à la bijectivité demandée, est ajoutée : pour {a=0}, toutes les valeurs finies non nulles ont la même image {2}. Les questions [P] utilisent Python ; pour [P?], un calcul à la main convient aussi.
1. (a) Montrer que {f_a} est bijective et déterminer sa réciproque {g_a}.
1. (b) [P] Écrire
f(a,x) et g(a,x), en traitant correctement l’infini.1. (c) Avec {v_{n+1}=g_a(v_n)}, écrire
suiteu(a,u0,n) et suitev(a,v0,n) renvoyant les termes des rangs {0} à {n}. Simplifier chaque nouvelle valeur.2. (a) Montrer que l’ensemble {\Gamma_a} des valeurs initiales dont la suite passe par {\infty} est fini ou dénombrable.
2. (b) [P?] Déterminer {\Gamma_a} pour {a=2} et pour {a=1}.
2. (c) [P] Pour {a=8-4\sqrt3}, montrer que {\Gamma_a} a douze éléments et les donner.
Dans la question 3, {a>1} est réel et {a=1+\tan^2\theta}, avec {0\lt\theta\lt\pi/2}.
3. (a) Déterminer les valeurs initiales donnant une suite constante. On les nomme {r,s} avec {\operatorname{Im}r\lt0\lt\operatorname{Im}s}.
3. (b) Supposons {u_0\notin\{r,s\}}. Calculer {u_n}. Indication : poser {v_n=(u_n-r)/(u_n-s)}.
3. (c) Montrer que la suite est {m}-périodique si et seulement si {\theta\equiv0\pmod{\pi/m}}.
3. (d) Montrer que l’ensemble des paramètres {a>1} donnant une suite périodique, pour une période entière convenable, est dense dans {]1,+\infty[}.
3. (e) [P?] Déterminer les paramètres donnant exactement la période {12}, toujours hors des deux suites constantes.