Pour une suite complexe {(u_n)_{n\geq1}} telle que {\sum\limits_{n\geq1}|u_n|\lt+\infty}, on admet que les produits partiels {P_n=\prod\limits_{k=1}^n(1+u_k)} convergent. Leur limite est notée {\prod\limits_{k=1}^{+\infty}(1+u_k)}.
On note {S} l’ensemble des suites finies croissantes d’entiers strictement positifs, avec répétitions possibles. Pour {u=(j_1,\ldots,j_r)}, on pose {q(u)=\sum\limits_{k=1}^rj_k}, puis {\Gamma_n=\{u\in S:q(u)=n\}} et {p(n)=\operatorname{Card}\Gamma_n}. Ce sont les partitions de {n}. Par exemple, les partitions de {5} sont {(1,1,1,1,1)}, {(1,1,1,2)}, {(1,1,3)}, {(1,2,2)}, {(1,4)}, {(2,3)} et {(5)} ; ainsi {p(5)=7}.
1. (a) Vérifier que {\Gamma_n} est fini.
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Soit {s_{n,p}} le nombre de partitions de {n} en au plus {p} termes, avec {s_{0,p}=1} et {s_{n,0}=0} pour {n\geq1}. Soit {\widehat s_{n,p}} le nombre de partitions en exactement {p} termes. Par exemple, {s_{4,3}=4}.
1. (b) Justifier {s_{p,q}=s_{p,p}} si {q>p\geq1}, puis {s_{p,q}=\widehat s_{p,q}+s_{p,q-1}}. Montrer que {\widehat s_{p,q}=s_{p-q,q}} pour {p\geq q\geq1}, et en déduire une récurrence.
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1. (c) [P] Écrire une fonction récursive calculant {s_{p,q}}.
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1. (d) [P] Afficher {[p(n)]_{1\leq n\leq20}}.
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On note {\mathcal F=\mathbb N^{(\mathbb N^*)}} l’ensemble, admis dénombrable, des suites d’entiers naturels à support fini. Soit {(a_n)} une suite complexe telle que {|a_n|\lt1} pour tout {n} et {\sum\limits_n|a_n|\lt+\infty}. Dans les produits ci-dessous, on adopte {a_i^0=1}, même si {a_i=0}.
2. (a) Vérifier la convergence des quatre produits {\begin{array}{ll}\displaystyle\prod_{n\geq1}(1-|a_n|),&\displaystyle\prod_{n\geq1}(1-a_n)\\[4pt]\displaystyle\prod_{n\geq1}\frac1{1-a_n},&\displaystyle\prod_{n\geq1}\frac1{1-|a_n|}\end{array}}On note {P} le dernier produit et {P_r} son produit partiel de rang {r}.
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2. (b) Montrer que la famille {(|a_1|^{\alpha_1}\cdots|a_r|^{\alpha_r})_{\alpha\in\mathbb N^r}} est sommable, de somme {P_r}.
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2. (c) Pour toute partie finie {J\subset\mathcal F}, montrer qu’il existe {r} tel que {\sum_{\alpha\in J}\prod_{i\geq1}|a_i|^{\alpha(i)}\leq P_r\leq P}Qu’en déduit-on pour la famille des produits complexes ?
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2. (d) Posons {I_r=\{\alpha\in\mathcal F:\alpha(i)=0\text{ pour }i>r\}}. Justifier que {\sum_{\alpha\in\mathcal F}\prod_{i\geq1}a_i^{\alpha(i)}=\lim_{r\to\infty}S_r,\quad S_r=\prod_{i=1}^r\frac1{1-a_i}}En déduire la valeur de la somme.
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3. Pour {|z|\lt1}, en déduire {\prod_{n=1}^{+\infty}\frac1{1-z^n}=1+\sum_{k=1}^{+\infty}p(k)z^k}
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