Un développement en produit infini
Les questions [P] utilisent Python. On définit
{f(x)=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}},\quad g(x)=4x^3+6x^2-\frac32}Pour {x\gt1/2}, on pose {u_1(x)=x}, {u_{k+1}(x)=g(u_k(x))} pour {k\ge1}, et
{P_n(x)=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1{u_k(x)}\right)}L’objectif est de montrer que {P_n(x)\to f(x)} et d’étudier la qualité de la convergence.
1. (a) [P] Écrire
f(x) renvoyant {f(x)}.1. (b) [P] Écrire
P(n,x) renvoyant {P_n(x)}.1. (c) [P] Calculer {f(\sqrt3)-P_n(\sqrt3)} pour {n=1,2,3}.
2. (a) Pour {x\gt1/2}, montrer que l’unique solution sur {]1/2,+\infty[} de {f(x)=(1+1/x)f(y)} est {y=g(x)}.
2. (b) Montrer que {u_k(x)} est strictement croissante et tend vers {+\infty}.
2. (c) Montrer que {P_n(x)\to f(x)}, c’est-à-dire
{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac1{u_k(x)}\right)}
{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-1}}=\prod_{k=1}^{+\infty}\left(1+\frac1{u_k(x)}\right)}
3. (a) Montrer que {f(x)-P_n(x)\sim f(x)/u_{n+1}(x)}.
3. (b) En déduire
{f(x)-P_{n+1}(x)\sim\frac{(f(x)-P_n(x))^3}{4f(x)^2}}Commenter.
{f(x)-P_{n+1}(x)\sim\frac{(f(x)-P_n(x))^3}{4f(x)^2}}Commenter.
Complément du corrigé
Complément. Donner une expression explicite de {u_k(x)} et de {P_n(x)}, et étendre l’étude des itérées à tout réel {x}.