Les questions [P] utilisent Python. On fixe {n\ge2} et on note {\widetilde A} la transposée de la comatrice de {A\in M_n(\mathbb C)}, c’est-à-dire son adjointe classique.
1. (a) [P] Écrire
cofacteur(A,i,j) renvoyant le cofacteur d’indice {(i,j)}, avec {1\le i,j\le n}.1. (b) [P] Écrire
tilde(A). Vérifier sur une matrice aléatoire d’ordre 5 la relation entre {A} et {\widetilde A}, en tenant compte des arrondis.2. Déterminer le rang de {\widetilde A} en fonction du rang de {A}.
3. Montrer que si {A,B} sont semblables, {\widetilde A,\widetilde B} le sont aussi.
Pour {z\in\mathbb C}, on veut résoudre {(E_z):A+\widetilde A=zI_n}.
4. (a) Que déduit-on de la question 3 ?
4. (b) Déterminer les {z} pour lesquels il existe des solutions non inversibles.
4. (c) Déterminer les {z} pour lesquels il existe des solutions inversibles. On pourra poser {t=z/2}.
4. (d) Donner, en distinguant {z=0} et {z\ne0}, la forme de toutes les solutions.
Question complémentaire du corrigé
5. Résoudre {A=\operatorname{com}(A)} dans {M_n(\mathbb R)}.
Indications Python
np.delete(A,i,0) supprime la ligne d’indice i, et np.delete(A,j,1) la colonne j. Les indices NumPy commencent à zéro. np.linalg.det calcule les déterminants ; np.random.randint crée une matrice aléatoire entière.