Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}. On note {\chi_A} son polynôme caractéristique et {\pi_A} son polynôme minimal. Pour {P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0}, la matrice compagnon {\Gamma_P} est définie par {\Gamma_Pe_j=e_{j+1}} pour {1\leq j\lt n} et {\Gamma_Pe_n=-\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_je_{j+1}}. On admet que {\chi_{\Gamma_P}=P}.
1. Montrer que le polynôme minimal de {\Gamma_P} est {P}. Indication : considérer {(\Gamma_P^ke_1)_{0\leq k\lt n}}.
Dans la suite, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C} et {\chi_A=\prod\limits_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{m_i}}, où les {\lambda_i\in\mathbb K} sont distincts et les {m_i} strictement positifs.
2. Démontrer que {A} est semblable à {\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_r)}, avec {A_i=\lambda_iI_{m_i}+N_i} et {N_i} nilpotente.
On suppose dans la question 3 que {\chi_A=\pi_A}.
3. (a) Démontrer que, pour tout {i}, {\chi_{A_i}=\pi_{A_i}}.
3. (b) Soit {Q\in\mathbb K[X]} tel que {\operatorname{pgcd}(Q',\chi_A)=1}. En supposant en outre les {Q(\lambda_i)} deux à deux distincts, démontrer que {\chi_{Q(A)}=\pi_{Q(A)}}. Indication : commencer par les blocs {Q(A_i)}.
4. Pour {v\in\mathbb K^n}, soit {I_v=\{P\in\mathbb K[X]:P(A)v=0\}}. Montrer que {I_v} est un idéal non nul, dont le générateur unitaire {\pi_{A,v}} divise {\pi_A}.
On suppose à nouveau {\chi_A=\pi_A}.
5. (a) Montrer qu’il existe {v} tel que {\pi_{A,v}=\pi_A}. On admet que {\mathbb K^n} n’est pas réunion d’un nombre fini de sous-espaces stricts.
5. (b) Conclure que {A} est semblable à {\Gamma_{\pi_A}}.
5. (c) Soit {Q\in\mathbb K[X]} tel que {\operatorname{pgcd}(Q',\chi_A)=1}. Que peut-on dire de {Q(A)} ?