On note {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C} et {n\ge2}. Pour une matrice {A}, {\widetilde A} désigne la transposée de sa comatrice et {P_A(X)=\det(XI_n-A)}.
On écrit {A=\begin{pmatrix}\alpha&R\\[4pt]S&M\end{pmatrix}}, avec {M} d’ordre {n-1}, {R} ligne et {S} colonne. On définit {c_1=1}, {c_2=-\alpha}, puis {c_i=-RM^{i-3}S} pour {3\le i\le n+1}.
La matrice {C\in M_{n+1,n}(\mathbb K)} est définie par {C_{i,j}=c_{i-j+1}} si {i\ge j}, et {0} sinon.
1. Montrer que {\det A=\alpha\det M-R\widetilde MS}.
2. En déduire {P_A(x)=(x-\alpha)P_M(x)-R\widetilde{xI_{n-1}-M}S}.
On pose {P_M(X)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}q_jX^j} et {P_A(X)=\sum\limits_{j=0}^np_jX^j}. Pour {2\le k\le n}, on définit {Q_k=\sum\limits_{j=1}^{k-1}q_{n-j}M^{k-j-1}}.
3. Montrer que {B(x)=\sum\limits_{k=2}^nQ_kx^{n-k}} est égal à {\widetilde{xI_{n-1}-M}}.
4. En déduire la relation {(p_n,p_{n-1},\ldots,p_0)^t=C(q_{n-1},q_{n-2},\ldots,q_0)^t}.