Pour {n\ge3}, soit {C_n=(c_{i,j})\in M_n(\mathbb R)} définie par {c_{i,i+1}=c_{i+1,i}=1/2} pour {1\le i\lt n}, {c_{1,n}=c_{n,1}=1/2}, et des coefficients nuls ailleurs. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire une fonction d’argument {n} renvoyant {C_n}.
1. (b) [P] Pour {n=5} et {n=6}, préciser les éléments propres et étudier les puissances lorsque leur exposant tend vers l’infini. Formuler des conjectures.
1. (c) [P] Écrire une fonction d’arguments {(P,m)} renvoyant {m^{-1}\sum\limits_{k=1}^mP^k}. Étudier ces moyennes pour {C_5} et {C_6}.
2. Montrer que {C_n} est diagonalisable sur {\mathbb R} et que ses valeurs propres appartiennent à {[-1,1]}. On pourra choisir une coordonnée de module maximal d’un vecteur propre.
On note {S_n} la matrice telle que {s_{i,i+1}=1} pour {1\le i\lt n}, {s_{n,1}=1}, et {s_{i,j}=0} ailleurs.
3. (a) Exprimer {C_n} en fonction de {S_n} et de {S_n^{-1}}.
3. (b) Diagonaliser {S_n} sur {\mathbb C}.
3. (c) En déduire une diagonalisation de {C_n} sur {\mathbb R}, en discutant selon la parité de {n}.
3. (d) Étudier {(C_n^m)} et vérifier la cohérence avec la question 1.
Soit {\widehat c=(1/n,\ldots,1/n)} et {\widehat C} la matrice dont toutes les lignes et colonnes sont égales à {\widehat c}.
4. (a) Posons {D_n=C_n-\widehat C}. Montrer que {D_n\widehat C=\widehat CD_n=0}, puis {C_n^k=D_n^k+\widehat C} pour {k\ge1}. Montrer que {D_n-I_n} est inversible.
4. (b) Montrer que, pour {m\ge1},
{\frac1m\sum_{k=1}^mC_n^k=\widehat C+\frac1mD_n(I_n-D_n)^{-1}(I_n-C_n^m+\widehat C)}
{\frac1m\sum_{k=1}^mC_n^k=\widehat C+\frac1mD_n(I_n-D_n)^{-1}(I_n-C_n^m+\widehat C)}
4. (c) Montrer que {m^{-1}\sum\limits_{k=1}^mC_n^k\to\widehat C} et comparer avec les résultats numériques.