Pour {n\ge1}, on pose {H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k=A_n/B_n}, avec {A_n,B_n} entiers strictement positifs premiers entre eux. On veut établir : si {p\ge5} est premier, alors {p^2} divise {A_{p-1}}. Les questions [P] utilisent Python. On pose {C_n=n!H_n}.
1. (a) [P] Écrire une fonction
C(n) renvoyant {C_n}. Vérifier que C(10) vaut {10628640}.1. (b) Montrer qu’il suffit d’établir : si {p\ge5} est premier, alors {p^2} divise {C_{p-1}}.
1. (c) [P] Vérifier la propriété pour tous les nombres premiers {p} tels que {5\le p\lt1000}.
2. Démontrer que, si {p} est premier, {(p-1)!\equiv-1\pmod p}.
Dans les questions suivantes, {p} est un nombre premier au moins égal à {5}.
3. Pour {1\le k\le p-1}, on pose {a_k=(p-1)!/[k(p-k)]}. Exprimer {\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k} en fonction de {H_{p-1}}.
4. Montrer que {k^2a_k\equiv1\pmod p}, puis que {p} divise {\sum\limits_{k=1}^{p-1}a_k}. Conclure.
5. Pour {n\ge1}, on pose {S_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k^2} et {D_n=(n!)^2S_n}. Montrer que {p\mid D_{p-1}} pour {p} premier au moins égal à {5}.
6. En déduire que, pour {p\ge5} premier,
{\binom{2p-1}{p-1}\equiv1\pmod{p^3}}
{\binom{2p-1}{p-1}\equiv1\pmod{p^3}}
Complément du corrigé : réciproque de Wilson. Si {n\ge2} et {(n-1)!\equiv-1\pmod n}, tout diviseur {d} de {n} tel que {1\le d\lt n} divise {(n-1)!}. Il divise donc à la fois {(n-1)!} et {(n-1)!+1}, ce qui impose {d=1}. Ainsi {n} est premier.