Les questions précédées de [P] utilisent Python.
1. (a) [P] On considère {P=X^3-1}, {Q=(X-1)^2} et {R=(X^2-6X+9)/9}. Montrer que {S=R(Q(X))-X} est divisible par {P}.
1. (b) Montrer, sans recalculer {R}, que le polynôme indiqué est le seul de degré au plus {2} à vérifier cette propriété.
Dans la suite, {P,Q\in\mathbb C[X]} sont non constants.
2. On suppose qu’il existe {R\in\mathbb C[X]} tel que {P} divise {R(Q(X))-X}. Montrer que, pour tout {a\in\mathbb C},
{\deg\operatorname{PGCD}(P(X),Q(X)-a)\le1}
{\deg\operatorname{PGCD}(P(X),Q(X)-a)\le1}
Soit {n=\deg P}. On suppose maintenant que, pour toute racine {\alpha} de {P},
{\deg\operatorname{PGCD}(P(X),Q(X)-Q(\alpha))\le1}Soient {\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}} tels que {P} divise {\lambda_0+\lambda_1Q+\cdots+\lambda_{n-1}Q^{n-1}}. On pose {T(X)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lambda_kX^k}.
3. (a) Soient {\alpha,\beta} des racines distinctes de {P}. Montrer que {Q(\alpha)} et {Q(\beta)} sont des racines distinctes de {T}.
3. (b) Soit {m} la multiplicité de {\alpha} dans {P} et {q} celle de {Q(\alpha)} dans {T}. Montrer que {q\ge m}.
3. (c) Qu’en déduit-on sur la famille {(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1})} ?
On admet alors l’existence d’un polynôme {R\in\mathbb C[X]} tel que {P} divise {R(Q(X))-X}.
4. Faire la synthèse des résultats obtenus.
5. Soit {P_+} l’ensemble des complexes de partie réelle strictement positive. Soient {A,B\in M_n(\mathbb C)} dont les spectres sont inclus dans {P_+} et telles que {A^2=B^2}. Montrer que {A=B}.
Les fonctions np.poly1d représentent les polynômes à partir des coefficients en degrés décroissants. Les opérations usuelles, les puissances p**n, la division p/q (quotient et reste) et la composition p(q) sont disponibles.