Pour {n\ge1}, on pose
{P_n=\prod_{k=0}^n(X-k),\quad R_n=\frac{P_n'}{P_n}=\sum_{k=0}^n\frac1{X-k}}La fonction {R_n} est définie hors de {\{0,\ldots,n\}}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire
R(n,x) calculant {R_n(x)}. Vérifier {R_{10}(0,4)\approx-1,353562397296765}.1. (b) [P] Tracer {R_5} sur {[-4,8]}, avec environ {200} points et les ordonnées limitées à {[-5,5]}.
2. (a) Pour {0\le k\lt n}, montrer que {P_n'} possède une unique racine dans {]k,k+1[}, notée {a_{n,k}}.
2. (b) [P] Écrire
a(n,k) renvoyant une estimation de {a_{n,k}}. Pour éviter les pôles, se placer sur {[k+\varepsilon,k+1-\varepsilon]}, avec {\varepsilon} petit.2. (c) [P] Pour {k=0} et {k=10}, conjecturer le comportement de {(a_{n,k})_{n\gt k}}.
On fixe désormais {k\in\mathbb N}.
3. (a) Prouver que {(a_{n,k})_{n\gt k}} converge, en comparant {R_n} et {R_{n-1}}. Noter sa limite {\ell_k}.
3. (b) Montrer que
{\frac1{a_{n,k}-k}\gt\sum_{j=1}^{n-k}\frac1j-\sum_{j=1}^k\frac1j}et en déduire {\ell_k=k}. Isoler le terme d’indice {k} dans {R_n(a_{n,k})=0}.
{\frac1{a_{n,k}-k}\gt\sum_{j=1}^{n-k}\frac1j-\sum_{j=1}^k\frac1j}et en déduire {\ell_k=k}. Isoler le terme d’indice {k} dans {R_n(a_{n,k})=0}.
3. (c) Majorer de même {1/(a_{n,k}-k)} pour {n\ge k+2} et en déduire {a_{n,k}-k\sim1/\ln n}.
Complément
On pose {Q_n=\prod\limits_{k=0}^n(X-k^2)}, {S_n=Q_n'/Q_n=\sum\limits_{k=0}^n1/(X-k^2)}, et {b_n} désigne l’unique racine de {Q_n'} dans {]0,1[}.
Complément 1. Montrer que {(b_n)_{n\ge1}} est strictement décroissante et majorée par {1/2}.
Complément 2. Calculer {S(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}1/(x-k^2)} sur son domaine et donner une valeur approchée de sa racine {\gamma} dans {]0,1[}.
Complément 3. Montrer que {-1/n\lt S(b_n)\lt0} et en déduire la limite de {(b_n)}.