Pour tous {(i,j)\in\mathbb N^2}, on définit les polynômes {P_{i,j}} par {P_{i,0}(x)=P_{0,j}(x)=1} et, pour {i,j\ge1},
{P_{i,j}(x)=P_{i,j-1}(x)+P_{i-1,j}(x)+xP_{i-1,j-1}(x)}Pour {n\ge1}, on note {M_n(x)=(P_{i,j}(x))_{0\le i,j\le n-1}}. Les indices commencent donc à {0}.
1. Former rapidement la matrice {M_3(x)} et calculer son déterminant.
2. On pose {\delta_n(x)=\det M_n(x)}. En utilisant des opérations élémentaires, montrer que {\delta_n(x)=(x+1)^{n-1}\delta_{n-1}(x)}. En déduire sa valeur factorisée pour tout {n\ge1}.
3. On convient que {\binom np=0} si {p\lt0} ou {p\gt n}. Pour {(i,j)\in\mathbb N^2}, posons
{Q_{i,j}(x)=\sum_{k\ge0}\binom ik\binom jk(1+x)^k}Montrer que {P_{i,j}=Q_{i,j}}, en vérifiant la même récurrence. On évaluera {Q_{i,j-1}+Q_{i-1,j}-Q_{i-1,j-1}+(1+x)Q_{i-1,j-1}}.
{Q_{i,j}(x)=\sum_{k\ge0}\binom ik\binom jk(1+x)^k}Montrer que {P_{i,j}=Q_{i,j}}, en vérifiant la même récurrence. On évaluera {Q_{i,j-1}+Q_{i-1,j}-Q_{i-1,j-1}+(1+x)Q_{i-1,j-1}}.
4. Interpréter le résultat précédent comme une égalité {M_n=L_n\Delta_n{}^tL_n}, où {L_n} est triangulaire inférieure à diagonale unité et {\Delta_n} diagonale. En déduire une nouvelle démonstration de la formule du déterminant.