Exercice 1
On considère les équations différentielles {\begin{array}{l}(H):\ x(x-1)(x-2)y'(x)\\[4pt]\phantom{(H):}\ +(2x^2-5x+4)y(x)=0\\[4pt](E):\ x(x-1)(x-2)y'(x)\\[4pt]\phantom{(E):}\ +(2x^2-5x+4)y(x)=1\end{array}}
Commande Maple. Écrire avec précision l’expression Maple qui renverrait la solution générale de l’équation {(H)}.
1. Donner la solution générale, sur un intervalle {I} à préciser, de l’équation {(H)}.
2. Donner la solution générale, sur le même intervalle {I}, de l’équation {(E)}.
Préciser les solutions éventuelles de {(E)} sur les intervalles suivants. S’il y a des prolongements, on donnera un développement limité d’ordre {2} au point considéré.
3. (a) Sur l’intervalle {J_1=]-\infty,1[}.
3. (b) Sur l’intervalle {J_2=]0,2[}.
3. (c) Sur l’intervalle {J_3=]1,+\infty[}.
Exercice 2
Soit {m} un paramètre réel. On considère {\begin{array}{l}(H):\ y''-2my'+(1+m^2)y=0\\[4pt](E):\ y''-2my'+(1+m^2)y=e^x\cos x\end{array}}On cherche les solutions à valeurs réelles. En discutant éventuellement suivant les valeurs de {m} :
1. Donner la solution générale de {(H)} sur {\mathbb R}.
2. Donner une solution particulière de {(E)} sur {\mathbb R}.