I. Une équation différentielle du premier ordre
On considère {(E):x(x^2-1)y'(x)+2y(x)=x}. On cherche les solutions réelles définies sur un intervalle {I} de {\mathbb R}. L’équation homogène associée est {(H):x(x^2-1)y'+2y=0}.
I.1. Préciser la nature de {(E)}, ainsi que les intervalles {I} sur lesquels on va la résoudre.
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I.2. Donner la solution générale de {(H)} sur l’intervalle de résolution {I}.
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I.3. Donner la solution générale de {(E)} sur {I}.
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I.4. Déterminer les solutions éventuelles de {(E)} sur {]-1,1[}.
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I.5. Déterminer les solutions éventuelles de {(E)} sur {]-\infty,0[}.
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I.6. Déterminer les solutions éventuelles de {(E)} sur {]0,+\infty[}.
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I.7. L’équation {(E)} admet-elle des solutions sur {\mathbb R} ?
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II. Une équation différentielle du second ordre
On considère {(E_a):y''-(a+1)y'+ay=d(x)}, où {a\in\mathbb R} et {d} est continue sur {\mathbb R}. On cherche les solutions réelles sur un intervalle {I}. On note {(H_a):y''-(a+1)y'+ay=0} l’équation homogène associée.
II.1. Préciser la nature de {(E_a)} et les intervalles de résolution. Indiquer brièvement la forme de sa solution générale, notamment en fonction de celle de {(H_a)}.
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II.2. Donner la solution générale de {(H_a)} sur {I}, en discutant suivant {a}.
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II.3. On pose {d(x)=xe^{a^2x}}. Donner la solution générale de {(E_a)}, en discutant suivant {a}.
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II.4. On suppose {a=-1} et {d(x)=\operatorname{th}x}. Donner la solution générale sur {I}.
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On considère {(E'):t^2z''(t)+tz'(t)-z(t)=(t^2-1)/(t^2+1)}. On cherche les solutions réelles sur {J=\mathbb R_-^*} ou {J=\mathbb R_+^*}. On pose {t=\varepsilon e^x}, avec {\varepsilon=-1} ou {1} suivant le signe de {J}, et {y(x)=z(t)}.
II.5. (a) Montrer que {z} satisfait {(E')} sur {J} si et seulement si {y} satisfait sur {\mathbb R} l’équation de la question précédente.
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II.5. (b) En déduire la solution générale de {(E')} sur {J}.
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II.5. (c) L’équation possède-t-elle des solutions sur {\mathbb R} entier ? On admettra que {\varphi(t)=\arctan(t)/t}, prolongée en {0}, est deux fois dérivable et que {\varphi'(0)=0}.
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III. Une équation fonctionnelle
On dit que {f:\mathbb R\to\mathbb R} est solution du problème {\mathcal P} si elle est deux fois dérivable et vérifie {f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\quad(E)}pour tous réels {x,y}. On veut déterminer toutes ces solutions.
III.1. Déterminer les solutions constantes de {\mathcal P}.
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Soit maintenant {f} une solution non constante. On pose {a=f''(0)}.
III.2. (a) Montrer que {f(0)=1}.
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III.2. (b) Montrer que {f'(0)=0}.
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III.2. (c) Montrer que {f''(x)=af(x)} pour tout {x}. Indication : dériver {(E)} par rapport à {x} et à {y}.
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III.3. En déduire toutes les solutions de {\mathcal P}.
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IV. Une équation différentielle avec « conditions initiales »
Soit {a:[0,1]\to\mathbb R} continue. Une solution du problème {\mathcal P} est une fonction {y} deux fois dérivable sur {[0,1]}, vérifiant {y''+a(x)y=0} et {y(0)=y(1)=0}.
IV.1. Si {a(x)=\lambda} est constante, montrer que la seule solution est la fonction nulle, sauf pour certaines valeurs de {\lambda} à préciser.
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Pour {\varphi:[0,1]\to\mathbb R} continue, on définit {\begin{array}{l}\Phi(x)=(1-x)\displaystyle\int_0^x t\varphi(t)\,dt\\[4pt]\phantom{\Phi(x)=}{}-x\displaystyle\int_1^x(1-t)\varphi(t)\,dt\end{array}}
IV.2. (a) Montrer que {\Phi} est deux fois dérivable et vérifie {(S):\Phi''=-\varphi}, {\Phi(0)=\Phi(1)=0}.
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IV.2. (b) Réciproquement, si {\psi} est deux fois dérivable et solution de {(S)}, montrer que {\psi=\Phi}.
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IV.3. En déduire que {y} est solution de {\mathcal P} si et seulement si {\begin{array}{l}y(x)=(1-x)\displaystyle\int_0^x ta(t)y(t)\,dt\\[4pt]\phantom{y(x)=}{}-x\displaystyle\int_1^x(1-t)a(t)y(t)\,dt\quad(E)\end{array}}
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IV.4. Soit {y} continue. Posons {m=\max\limits_{[0,1]}|a(x)|} et {M=\max\limits_{[0,1]}|y(x)|}. Montrer que si {y} vérifie {(E)}, alors {|y(x)|\leq mM/8}.
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IV.5. En déduire que si {m\lt1/8}, la seule solution de {\mathcal P} est la fonction nulle.
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