Première partie
On étudie, pour {x\gt0}, {f(x)=x\int_0^{\pi/2}\frac{u\,du}{x^2\cos^2u+\sin^2u}}
I.1. Montrer que {I_1(x)=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{du}{x^2\cos^2u+\sin^2u}=\pi/(2x)}.
I.2. (a) Calculer {I_2(x)=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\sin u\,du}{x^2\cos^2u+\sin^2u}}, en distinguant {0\lt x\lt1}, {x=1}, {x\gt1}.
I.2. (b) Vérifier {I_2(x)\sim-\ln x} quand {x\to0^+}.
I.3. Montrer que {f(x)+f(1/x)=\pi^2/4} pour tout {x\gt0}.
I.4. (a) Montrer {0\leq f(x)\leq(\pi/2)xI_2(x)}.
I.4. (b) En déduire les limites de {f} en {0} et en {+\infty}.
On veut maintenant établir la dérivabilité de {f}.
I.5. (a) Posons {\begin{array}{l}\Phi(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{u\,du}{x\cos^2u+\sin^2u}\\[4pt]\Delta(x)=-\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{u\cos^2u\,du}{(x\cos^2u+\sin^2u)^2}\end{array}}Pour {x\gt0} et {0\lt|h|\lt x/2}, montrer {\left|\frac{\Phi(x+h)-\Phi(x)}h-\Delta(x)\right|\leq|h|\int_0^{\pi/2}\frac{u\cos^4u\,du}{((x/2)\cos^2u+\sin^2u)^3}}On pourra poser {a(u)=x\cos^2u+\sin^2u}. En déduire que {\Phi} est dérivable en {x}.
I.5. (b) Montrer que {f} est dérivable sur {\mathbb R_+^*} et que {f'(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{u(\sin^2u-x^2\cos^2u)}{(x^2\cos^2u+\sin^2u)^2}\,du}
I.5. (c) Montrer que {f'(x)=\int\limits_0^{\pi/2}\dfrac{\sin u\cos u}{x^2\cos^2u+\sin^2u}\,du}.
I.5. (d) Prouver {f'(x)=\ln x/(x^2-1)} pour {x\ne1}. La dérivée est-elle continue en {1} ?
I.6. (a) Montrer que {f(x)=\int\limits_0^x\dfrac{\ln t}{t^2-1}\,dt} pour tout {x\gt0}.
I.6. (b) Dresser le tableau de variations de {f} et tracer sa courbe.
Deuxième partie
Pour une suite {(u_n)_{n\geq n_0}}, on dit que la série {\sum u_n} converge si ses sommes partielles {S_m=\sum\limits_{n=n_0}^mu_n} convergent ; leur limite est notée {\sum\limits_{n=n_0}^{+\infty}u_n}.
On admet que si {n^\alpha u_n\to0} pour un certain {\alpha\gt1}, la série converge. Un résultat classique est {\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/n^2=\pi^2/6}.
On va exprimer {\pi^2} comme somme d’une série, puis en déduire une méthode d’approximation.
II.1. (a) Pour {m\in\mathbb N}, montrer {f(1)=\sum_{n=0}^m\frac1{(2n+1)^2}+\int_0^1\frac{t^{2m+2}\ln t}{t^2-1}\,dt}
II.1. (b) Prouver qu’il existe {K\gt0} tel que {0\leq\int_0^1\frac{t^{2m+2}\ln t}{t^2-1}\,dt\leq\frac K{2m+2}}En déduire {\sum\limits_{n=0}^{\infty}1/(2n+1)^2=\pi^2/8}.
II.2. (a) Prouver {\sum\limits_{n=1}^{\infty}1/(n(n+1))=1}.
II.2. (b) En déduire {\pi^2=10-\sum_{n=1}^{\infty}\frac2{n(n+1)(2n+1)^2}}
Posons {h(t)=2/(t(t+1)(2t+1)^2)}, {S_p=\sum\limits_{n=1}^ph(n)} et {R_p=\sum\limits_{n=p+1}^{\infty}h(n)}. On a donc {\pi^2=10-S_p-R_p}.
II.3. (a) Montrer que {h} est intégrable sur {[1,+\infty[} et décroissante.
II.3. (b) Montrer {\int\limits_{p+1}^{+\infty}h(t)\,dt\leq R_p\leq\int\limits_p^{+\infty}h(t)\,dt}.
II.3. (c) En déduire {1/(6(p+2)^3)\leq R_p\leq1/(6p^3)}.
II.3. (d) On approche {\pi^2} par {10-S_p-1/(6p^3)}. Montrer que l’erreur est par défaut et majorée par {1/p^4}.