On étudie l’intégrale {F(\alpha)=\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{dt}{1+t^\alpha}}, où {\alpha} est réel.
Première partie
I.1. Montrer que {F} est définie et positive sur {I=]1,+\infty[}.
I.2. Calculer {F(2)}, {F(3)} et {F(3/2)}.
I.3. Montrer, pour {\alpha\gt1}, {F(\alpha)=\int\limits_0^1\dfrac{1+t^{\alpha-2}}{1+t^\alpha}\,dt}.
I.4. Montrer que {\alpha\mapsto F(\alpha)} est convexe sur {I}. Indication : à {t\in]0,1]} fixé, considérer {h_t(\alpha)=(1+t^{\alpha-2})/(1+t^\alpha)}.
Deuxième partie
Soient {n,p\in\mathbb N^*} avec {p\lt2n}. Pour {1\leq k\leq2n}, on note {\theta_k=(2k-1)\pi/(2n)}.
II.1. Pour {0\lt\theta\lt\pi}, calculer {\begin{array}{l}C_n(\theta)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\cos((2k-1)\theta)\\[4pt]S_n(\theta)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\sin((2k-1)\theta)\\[4pt]D_n(\theta)=\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)\sin((2k-1)\theta)\end{array}}
II.2. Montrer que {R(x)=px^{p-1}/(x^{2n}+1)} se décompose sous la forme {R=(p/n)\sum\limits_{k=1}^nR_k}, avec {R_k(x)=\frac{a_kx+b_k}{x^2-2x\cos\theta_k+1}}Déterminer {a_k,b_k} et prouver {\sum\limits_{k=1}^na_k=0}.
II.3. Soit {S_k} la primitive de {R_k} nulle en {0}. Montrer {\begin{array}{l}S_k(x)=\dfrac{a_k}2\ln(x^2-2x\cos\theta_k+1)\\[4pt]\phantom{S_k(x)=}{}+\sin(p\theta_k)\arctan\dfrac{x-\cos\theta_k}{\sin\theta_k}\\[4pt]\phantom{S_k(x)=}{}+(\pi/2-\theta_k)\sin(p\theta_k)\end{array}}
II.4. Si {\alpha=2n/p}, montrer {F(\alpha)=\int\limits_0^{+\infty}R(t)\,dt}, puis en déduire {F(\alpha)=\pi/(\alpha\sin(\pi/\alpha))}.
II.5. Étendre cette formule à tout réel {\alpha\gt1}.