On note {I} l’ensemble des réels irrationnels.
1. (a) Soit {A(t)=t^m-c_{m-1}t^{m-1}-\cdots-c_1t-c_0}, avec {c_j\in\mathbb Z} et {m\geq1}. Montrer qu’une racine réelle de {A} est entière ou irrationnelle.
1. (b) Pour {n\in\mathbb N} et {m\geq2}, montrer que {\sqrt[m]n} est dans {\mathbb N}, sinon dans {I}.
1. (c) Montrer que {\sqrt2+\sqrt3} et {\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} sont irrationnels.
Pour {n\in\mathbb N}, on définit {A_n(t)=t^n(1-t)^n/n!}.
2. (a) Montrer {0\leq A_n(t)\leq1/(4^nn!)} sur {[0,1]}.
2. (b) Montrer {A_n^{(m)}(0)\in\mathbb Z} pour tout {m\in\mathbb N}.
2. (c) En utilisant {A_n(t)=A_n(1-t)}, montrer que {A_n^{(m)}(1)} est également entier.
Soit {p\in\mathbb N^*}. On veut montrer que {e^p} est irrationnel. Par l’absurde, supposons {e^p=a/b}, avec {a,b\in\mathbb N^*}. On pose {\varphi_n(t)=be^{pt}\sum_{k=0}^{2n}(-1)^kp^{2n-k}A_n^{(k)}(t)}
3. (a) Vérifier que {\varphi_n(0)} et {\varphi_n(1)} sont entiers.
3. (b) Montrer {\varphi'_n(t)=be^{pt}p^{2n+1}A_n(t)}.
3. (c) En déduire {\varphi_n(1)-\varphi_n(0)=bp^{2n+1}\int\limits_0^1e^{pt}A_n(t)\,dt}.
3. (d) Majorer {|\varphi_n(1)-\varphi_n(0)|} à l’aide de 2(a), puis obtenir une contradiction pour {n} assez grand. Conclure.
4. (a) Montrer que {e^r} est irrationnel pour tout rationnel non nul {r}.
4. (b) En déduire que {\ln r} est irrationnel pour {r\in\mathbb Q_+^*}, {r\ne1}.
On veut maintenant montrer que {\pi^2} est irrationnel, ce qui entraîne l’irrationalité de {\pi}. Supposons par l’absurde {\pi^2=a/b}, avec {a,b\in\mathbb N^*}. Posons {\psi_n(t)=b^n\sum_{k=0}^n(-1)^k\pi^{2n-2k}A_n^{(2k)}(t)}
5. (a) Vérifier que {\psi_n(0)} et {\psi_n(1)} sont entiers.
5. (b) Posons {\xi(t)=\psi'_n(t)\sin(\pi t)-\pi\psi_n(t)\cos(\pi t)}. Montrer {\xi'(t)=\pi^2a^nA_n(t)\sin(\pi t)}.
5. (c) En déduire {\psi_n(0)+\psi_n(1)=\pi a^n\int\limits_0^1A_n(t)\sin(\pi t)\,dt}.
5. (d) Majorer {|\psi_n(0)+\psi_n(1)|}, obtenir une contradiction et conclure.
On veut enfin établir que le seul rationnel {r\in]0,1/2[} tel que {\cos(\pi r)} soit rationnel est {r=1/3}.
6. (a) Pour tout {n\in\mathbb N}, montrer qu’il existe un polynôme {T_n} de degré {n}, à coefficients entiers, tel que {\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)}. Son coefficient dominant est {2^{n-1}} pour {n\geq1} (et {T_0=1}).
6. (b) Posons {r=m/n}, avec {m\geq1}, {n\geq2}, {\gcd(m,n)=1}, et supposons {\cos(\pi r)=p/q}, avec {p,q\geq1} premiers entre eux. En considérant {\theta=\pi r}, montrer {q=2^k} pour un entier {1\leq k\leq n-1}, et que {p} est impair.
6. (c) Supposons {k\gt1}. Appliquer le résultat à {\theta_1=2\theta} et montrer que {k\lt k_1\lt n}, avec {k_1=2k-1}. Itérer avec {\theta_2=2\theta_1}, etc., et conclure que {\cos(\pi r)=1/2}, puis {r=1/3}.