Le but du problème est de déterminer un équivalent de la suite définie, pour {\alpha>0}, par {u_n(\alpha)=\binom{2n}{n}^{-\alpha}\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}^{\alpha}}On admet que {\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\lim_{a\to+\infty}\int_0^a e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt\pi}2}Pour tout {n\ge1}, on pose {v_n(\alpha)=\sum_{k=1}^n\exp\left(-\frac{\alpha k^2}n\right)}Dans tout le problème, {r\in]1/2,1[}.
1. (a) Montrer, pour tout {n\in\mathbb N^*}, que {\int_1^{n+1}e^{-\alpha x^2/n}\,dx\le v_n(\alpha)\le\int_0^n e^{-\alpha x^2/n}\,dx}
1. (b) En déduire {v_n(\alpha)\sim\frac12\sqrt{n\pi/\alpha}}.
2. (a) Montrer que {\sum_{n^r\le k\le n}e^{-\alpha k^2/n}\le n e^{-\alpha n^{2r-1}}}
2. (b) En déduire {\sum_{1\le k\lt n^r}e^{-\alpha k^2/n}\sim v_n(\alpha)}
On pose {p_n(1)=1/(1+1/n)} si {n\ge1}, et, si {2\le k\le n}, {p_n(k)=\frac{\prod_{j=1}^{k-1}(1-j/n)}{\prod_{j=1}^k(1+j/n)}}
3. (a) Montrer que {u_n(\alpha)=1+2\binom{2n}{n}^{-\alpha}\sum_{k=1}^n\binom{2n}{n+k}^{\alpha}}
3. (b) Établir, pour tout {k\in\{1,\ldots,n\}}, que {\binom{2n}{n+k}=\binom{2n}{n}p_n(k)}
4. (a) Soit {t\in[0,1[}. Montrer, pour {x\in[0,t]}, que {\begin{array}{ll}\text{(i)}&2x\le\ln(1+x)-\ln(1-x)\le\dfrac{2x}{1-t^2}\\[4pt]\text{(ii)}&x-\dfrac{x^2}2\le\ln(1+x)\le x\end{array}}
4. (b) En déduire que {p_n(k)e^{k^2/n}\le e^{k^2/(2n^2)}}
4. (c) Montrer que {\sum\limits_{n^r\le k\le n}p_n(k)^\alpha=o(v_n(\alpha))}.
5. (a) Montrer que {\begin{array}{l}u_n(\alpha)-2v_n(\alpha)\\[4pt]\quad=2\displaystyle\sum_{1\le k\lt n^r}e^{-\alpha k^2/n}\left(p_n(k)^\alpha e^{\alpha k^2/n}-1\right)\\[4pt]\phantom{\quad=}{}+o(v_n(\alpha))\end{array}}
5. (b) Avec 4.(a), montrer que, pour {n\ge2} et {1\le k\lt n^r}, {p_n(k)e^{k^2/n}\ge\exp\left(-\frac{n^{4r-3}}{1-n^{2r-2}}\right)}
5. (c) En déduire, si {r\lt3/4}, que {2\sum_{1\le k\lt n^r}e^{-\alpha k^2/n}\left(p_n(k)^\alpha e^{\alpha k^2/n}-1\right)=o(v_n(\alpha))}
5. (d) Montrer finalement que {u_n(\alpha)\sim\sqrt{n\pi/\alpha}}.
5. (e) Cas particulier : donner un équivalent de {\binom{2n}{n}} quand {n\to\infty}.