Exercice 1
Soit {k} un entier naturel fixé. On pose, pour {n\in\mathbb N^*}, {u_n=\frac{\sqrt{(n+k)!}}{\prod_{j=1}^n(1+\sqrt j)}}1. Quelques valeurs numériques
1. (a) On choisit {k=5}. Calculer {u_n} avec {5} chiffres significatifs, quand {1\le n\le10}, {n=20}, {n=50}.
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1. (b) Même question avec {k=10}.
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2. Convergence de la suite {(u_n)}
2. (a) Dans le cas général, calculer le rapport {u_n/u_{n-1}}, pour tout {n\ge2}.
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2. (b) En déduire que la suite {u} est monotone à partir d’un certain rang {N} à préciser.
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2. (c) Montrer que la suite {u} est convergente.
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3. Limite de la suite {(u_n)}
3. (a) Montrer qu’il existe {M\in\mathbb N} tel que {n\ge M\Longrightarrow\frac{u_n}{u_{n-1}}\le1-\frac1{2\sqrt n}}
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3. (b) Montrer que {\ln(1+x)\le x} pour {x>-1}, et que {\sqrt{x+1}-\sqrt x\le1/(2\sqrt x)} pour {x>0}.
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3. (c) En déduire, pour {n\ge M}, que {\ln u_n-\ln u_{n-1}\le\sqrt n-\sqrt{n+1}}.
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3. (d) Conclure que {\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}.
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Exercice 2
On pose {u_n=\sqrt[n]{n!}/n} pour {n\in\mathbb N^*}. On veut calculer {\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}.
1. Première méthode. On pose {v_n=n^n/n!} pour {n\ge1}.
1. (a) Établir, pour {x\ge0}, que {0\le x-\ln(1+x)\le x^2/2}.
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1. (b) En déduire, pour {n\ge1}, que {0\le1+\ln v_n-\ln v_{n+1}\le\frac1{2n}}
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1. (c) Montrer que {x\le-\ln(1-x)} pour {x\in[0,1[}.
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1. (d) En déduire {\sum\limits_{k=1}^n1/k\le1+\ln n}.
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1. (e) Prouver finalement que {\lim\limits_{n\to+\infty}(\ln v_n)/n=1}, puis calculer {\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}.
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2. Deuxième méthode.
2. (a) Vérifier, pour {n\ge1}, que {\ln u_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\ln k-\ln n}.
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2. (b) En encadrant {\ln k} à l’aide d’intégrales, encadrer {\ln u_n} et en déduire {\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}.
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Exercice 3
Pour tout {n\in\mathbb N^*}, on pose {u_n=\sqrt n\,\frac{\binom{2n}{n}}{4^n}}
1. Calculer {u_1} et {u_{n+1}/u_n}.
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2. Prouver par récurrence que {u_n\le\sqrt{n/(2n+1)}}.
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3. Montrer qu’il existe {L\in[1/2,1/\sqrt2]} tel que {u_n\to L}.
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4. Montrer, pour {x>0}, que {\frac1{8(x+1/2)}\le x+\frac12-\sqrt{x(x+1)}\le\frac1{8\sqrt{x(x+1)}}}
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5. En déduire, pour {k\ge1}, que {\begin{array}{l}\dfrac{u_k}{8(k+1/2)}-\dfrac{u_k}{8(k+3/2)}\le u_{k+1}-u_k\\[4pt]u_{k+1}-u_k\le\dfrac{u_k}{8k}-\dfrac{u_k}{8(k+1)}\end{array}}
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6. Encadrer {u_p-u_n} pour {p>n}, puis établir, pour {n\ge1}, que {\frac{u_n}{8(n+1/2)}\le L-u_n\le\frac L{8n}}
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7. En déduire, pour {n\ge1}, la majoration {\left|L-\left(1+\frac1{8n}\right)u_n\right|\le\frac L{16n^2}}
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8. Comment suffit-il de choisir {n} pour que {u_n} soit une valeur approchée de {L} à {10^{-5}} près ? Même question avec {(1+1/(8n))u_n}.
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NB : on peut montrer (mais on ne demande pas de le prouver) que {L=1/\sqrt\pi}.