La méthode de Newton-Raphson

I. Généralités sur la méthode

Soit ${g}$ une application définie sur un segment ${[a,b]}$ (avec ${a\lt b}$ ) et à valeurs dans ${\mathbb R}$ . On suppose en outre que ${g([a,b])\subset[a,b]}$ : le segment ${[a,b]}$ est donc stable par ${g}$ .

I.1. On suppose que

{g}

est continue sur

{[a,b]}

. Montrer que l’équation

{(E):g(x)=x}

possède au moins une solution sur

{[a,b]}

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I.2. On suppose que

{g}

est

{k}

-lipschitzienne sur

{[a,b]}

, avec

{0\leq k\lt1}

. Montrer que l’équation

{(E)}

possède une solution unique

{\alpha}

sur

{[a,b]}

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I.3. On garde les hypothèses de la question précédente. On se donne un réel

{x_0}

dans

{[a,b]}

. On définit alors une suite

{(x_n)}

{[a,b]}

en posant

{x_{n+1}=g(x_n)}

pour

{n\geq0}

. Montrer que pour tout

{n\in\mathbb N}

{|x_n-\alpha|\leq k^n|x_0-\alpha|}

. Conclusion ?

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I.4. On suppose maintenant que

{g}

est de classe

{\mathcal C^1}

sur

{[a,b]}

et que

{|g'(x)|\lt1}

pour tout

{x\in[a,b]}

. Montrer qu’on peut conclure comme dans les questions 2 et 3.

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I.5. On reprend les hypothèses de I.4 et les notations de I.3. On suppose que

{(x_n)}

n’est pas stationnaire en

{\alpha}

. Montrer que

{\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha-x_{n+1}}{\alpha-x_n}=g'(\alpha)}

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I.6. On suppose ici que

{g}

est définie et de classe

{\mathcal C^1}

sur un intervalle ouvert

{I}

{\mathbb R}

. On suppose qu’il existe

{\alpha\in I}

tel que

{g(\alpha)=\alpha}

{|g'(\alpha)|\lt1}

.
Montrer qu’il existe

{\delta\gt0}

tel que

{J=[\alpha-\delta,\alpha+\delta]\subset I}

{|g'(x)|\lt1}

pour tout

{x\in J}

. Établir que

{J}

est stable par

{g}

et qu’on peut y appliquer les résultats précédents.

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Soit ${f}$ une application de classe ${\mathcal C^2}$ sur un intervalle ouvert ${I}$ , à valeurs réelles. On suppose qu’il existe ${\alpha\in I}$ tel que ${f(\alpha)=0}$ , que ${f'}$ ne s’annule pas sur ${I}$ , et on pose ${g(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}}$ .

I.7. (a) Montrer qu’il existe

{\delta\gt0}

tel que, si l’on se donne

{x_0}

dans

{J=[\alpha-\delta,\alpha+\delta]}

et si l’on définit

{x_{n+1}=g(x_n)}

pour tout

{n}

, alors la suite

{(x_n)}

converge vers

{\alpha}

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I.7. (b) Montrer qu’il existe

{K\gt0}

tel que

{|x_{n+1}-\alpha|\leq K|x_n-\alpha|^2}

pour tout

{n\in\mathbb N}

.
Indication : appliquer une inégalité de Taylor-Lagrange à

{f}

sur le segment d’extrémités

{x_n}

{\alpha}

. On pourra également justifier que

{|f'|}

possède un minimum strictement positif sur

{J}

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On garde les hypothèses et les notations de la question 7. La méthode de Newton consiste en la mise en place de la suite ${(x_n)}$ pour approcher la racine ${\alpha}$ de ${f}$ sur ${I}$ . On vient de voir que ${(x_n)}$ converge vers ${\alpha}$ si ${x_0}$ est « assez près » de ${\alpha}$ .
On étudie ici, sur deux exemples, le comportement de ${(x_n)}$ si ${x_0}$ est choisi de façon quelconque dans ${I}$ .

I.8. (a) Montrer que

{x_{n+1}}

est l’abscisse du point d’intersection de l’axe

{Ox}

avec la tangente en

{(x_n,f(x_n))}

à la courbe

{y=f(x)}

. Faire un dessin montrant

{x_0,x_1,x_2}

dans un cas assez général.

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I.8. (b) On suppose que

{f}

est convexe sur

{I=\mathbb R}

. Montrer que la suite

{(x_n)}

a la monotonie contraire de celle de

{f}

(à partir de

{x_1}

) et qu’elle converge vers

{\alpha}

, quel que soit

{x_0}

.
Indication : justifier que

{f}

est strictement monotone ; montrer que

{g'}

a le signe de

{f}

; discuter suivant la monotonie de

{f}

et la position de

{x_0}

par rapport à

{\alpha}

. Préciser rapidement ce qu’il en est si

{f}

est concave.

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I.8. (c) On suppose

{I=\mathbb R}

{f(x)=\arctan x}

. Dans ces conditions

{\alpha=0}

. Justifier l’existence et l’unicité de

{a\gt0}

tel que

{g(a)=-a}

.
En considérant

{g\circ g}

, montrer alors que : si

{|x_0|\lt a}

{(x_n)}

converge vers

{0}

; si

{|x_0|=a}

, elle est 2-périodique et ne prend que les valeurs

{a}

{-a}

; si

{|x_0|\gt a}

, elle est divergente.

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II. Application aux polynômes

Soit ${P=X^d+\sum\limits_{k=0}^{d-1}a_kX^k}$ un polynôme unitaire à coefficients réels de degré ${d\geq2}$ .

II.1. Montrer que pour toute racine réelle ou complexe

{\lambda}

{P}

{|\lambda|\leq\max\left(1,\sum_{k=0}^{d-1}|a_k|\right)}

Indication : raisonner par la contraposée.

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II.2. Dorénavant, on suppose que toutes les racines de

{P}

sont réelles. Montrer que toutes les racines de

{P'}

sont elles aussi réelles.

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II.3. On note

{\alpha}

la plus grande racine de

{P}

. On pose

{I=]\alpha,+\infty[}

{\overline I=[\alpha,+\infty[}

. Montrer que

{P,P',\ldots,P^{(d)}}

sont strictement positives sur

{I}

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On pose ${g(x)=x-P(x)/P'(x)}$ pour ${x\in I}$ .

II.4. (a) Montrer que l’application

{g}

se prolonge en une application de classe

{\mathcal C^\infty}

sur

{\overline I=[\alpha,+\infty[}

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II.4. (b) Montrer que si

{\alpha}

est racine simple de

{P}

, alors

{g'(\alpha)=0}

{g''(\alpha)=P''(\alpha)/P'(\alpha)}

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II.4. (c) Montrer que si

{\alpha}

est racine de multiplicité

{m\geq2}

{P}

, alors

{g'(\alpha)=1-1/m}

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II.5. (a) Montrer que

{g}

est strictement croissante sur

{\overline I}

et que

{g(\overline I)\subset\overline I}

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II.5. (b) On se donne

{x_0\gt\max(1,\sum\limits_{k=0}^{d-1}|a_k|)}

. Pour tout

{n\in\mathbb N}

, on pose

{x_{n+1}=g(x_n)}

. Montrer que

{(x_n)}

est strictement décroissante et converge vers

{\alpha}

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On étudie ici la rapidité globale (sur tout ${I}$ ) de la convergence de ${(x_n)}$ vers ${\alpha}$ . On note ${\lambda_1\lt\cdots\lt\lambda_q=\alpha}$ les différentes racines de ${P}$ , et ${m_k}$ la multiplicité de ${\lambda_k}$ .

II.6. (a) Pour

{x}

distinct des

{\lambda_k}

, on note

{R(x)=P'(x)/P(x)}

. Montrer que

{R(x)=\sum\limits_{k=1}^q\dfrac{m_k}{x-\lambda_k}}

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II.6. (b) Prouver que

{R(x)^2\leq-dR'(x)}

pour tout

{x}

distinct des

{\lambda_k}

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II.6. (c) En déduire, pour

{x\in I}

{0\lt g'(x)\leq1-1/d}

, puis

{0\leq x_n-\alpha\leq\left(1-\frac1d\right)^n(x_0-\alpha)}

pour tout

{n\in\mathbb N}

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On étudie maintenant la rapidité locale de convergence, à proximité de ${\alpha}$ .

II.7. (a) On suppose que

{\alpha}

est racine simple de

{P}

. Montrer que

{\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-\alpha}{(x_n-\alpha)^2}=\frac{P''(\alpha)}{2P'(\alpha)}}

On dit que la convergence est de type au moins quadratique : près de

{\alpha}

, le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque étape, dans la limite des capacités de la calculatrice.

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II.7. (b) Montrer que si

{\alpha}

est racine de multiplicité

{m\geq2}

, alors

{\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-\alpha}{x_n-\alpha}=1-\frac1m}

Ici la vitesse de convergence est seulement linéaire.

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On va modifier la méthode de Newton pour obtenir une convergence locale quadratique même lorsque ${\alpha}$ est une racine multiple de ${P}$ .

II.8. (a) Montrer que

{\alpha}

est une racine simple de

{f=P/P'}

(prolongée en

{\alpha}

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II.8. (b) On garde

{x_0}

comme en II.5(b), mais on utilise cette fois

{g(x)=x-f(x)/f'(x)}

. Exprimer

{x_{n+1}}

en fonction de

{x_n}

et des valeurs de

{P,P',P''}

{x_n}

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