On cherche les applications {f:\mathbb R\to\mathbb R}, ayant en {0} une dérivée {f'(0)=a\gt0}, et telles que, pour {x,y\in\mathbb R} avec {xy+1\ne0}, {f(x)f(y)=f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)\quad(1)}Dans les questions 1 à 10, on suppose l’existence d’une solution {f} à ce problème.
1. Montrer que {f(-1)=f(1)=0} et {f(0)=1}.
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2. Montrer que {f} ne s’annule qu’aux points {-1} et {1}.
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3. Montrer que {f(t)\gt0} pour tout {t\in]-1,1[}.
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Soit {x_1} un réel distinct de {-1,0,1}. On pose {M(x_1)=|x_1-1/x_1|\gt0}.
4. (a) Montrer que si {|h|\lt M(x_1)}, l’équation {\dfrac{x_1+y}{1+x_1y}=x_1+h}, d’inconnue {y}, admet une solution {y_h}.
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4. (b) En déduire que {f} est dérivable en {x_1} et que {f'(x_1)=\dfrac{af(x_1)}{1-x_1^2}}.
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5. Montrer que, pour {x\in]-1,1[}, {f(x)=\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)^{a/2}}.
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6. Montrer que {f} a un signe constant sur {]1,+\infty[} et un signe constant sur {]-\infty,-1[}.
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7. Montrer que {f} garde un signe constant {\varepsilon} sur {]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[}.
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Dans la question 8, {x} et {y} sont réels et {xy\ne-1}.
8. (a) Montrer que si {(|x|\lt1\text{ et }|y|\lt1)} ou {(|x|\gt1\text{ et }|y|\gt1)}, alors {\left|\dfrac{x+y}{1+xy}\right|\lt1}.
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8. (b) Montrer que si {(|x|\lt1\text{ et }|y|\gt1)} ou {(|x|\gt1\text{ et }|y|\lt1)}, alors {\left|\dfrac{x+y}{1+xy}\right|\gt1}.
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9. En déduire que l’application {g} définie sur {\mathbb R} par {g=f} sur {[-1,1]} et {g=-f} en dehors de {[-1,1]} est encore une solution du problème (ce qui prouve que {\varepsilon} peut être choisi arbitrairement).
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10. On suppose {\varepsilon=+1}. Montrer que, pour {x\ne1}, {f(x)=\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|^{a/2}}.
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11. Réciproquement, montrer qu’une telle application (en posant en outre {f(1)=0}) est bien une solution du problème.
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12. Donner toutes les solutions du problème.
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13. En se limitant à {\varepsilon=+1}, tracer les courbes représentatives correspondant à chacun des cas possibles (trois courbes).
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