Première partie
On se propose de déterminer les applications continues {f:\mathbb R\to\mathbb R} qui vérifient, pour tous {x,y\in\mathbb R}, {f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\quad(1)}
I.1. Déterminer les solutions constantes de (1).
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On suppose que {f} est une solution non constante de (1). Soit {F} la primitive de {f} qui s’annule à l’origine.
I.2. (a) Montrer que pour tous {x,y\in\mathbb R}, {F(x+y)-F(x-y)=2f(x)F(y)}.
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I.2. (b) Prouver que {f} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R} et que {f''(x)=f''(0)f(x)} pour tout {x}, avec {f(0)=1} et {f'(0)=0}.
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I.3. Déterminer toutes les solutions continues de (1).
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Deuxième partie
On cherche les applications continues {f,g:\mathbb R\to\mathbb R} vérifiant {f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)\quad(2)}pour tous {x,y\in\mathbb R}.
II.1. Montrer que pour tout couple solution {(f,g)} de (2), {f} est paire.
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Soit {(f,g)} un couple solution de (2). Dans la question 2, on suppose que {f} n’est pas constante.
II.2. (a) Montrer que {g(-x)g(-y)=g(x)g(y)} pour tous {x,y}. Montrer que {g} n’est pas paire, puis en déduire qu’elle est impaire.
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II.2. (b) Calculer {f(0)} ainsi que {f(x)^2+g(x)^2} pour tout {x}.
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II.2. (c) Montrer que {f} est solution de (1).
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II.3. Trouver tous les couples {(f,g)} solutions de (2).
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Troisième partie
On cherche les applications continues {f,g:\mathbb R\to\mathbb R} vérifiant {f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)\quad(3)}pour tous {x,y\in\mathbb R}.
Dans la question 1, on suppose que {f} et {g} ne sont pas identiquement nulles. On note {F,G} leurs primitives qui s’annulent en {0}.
III.1. (a) Montrer que {F(x+y)-F(x-y)=2f(x)G(y)} pour tous {x,y}.
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III.1. (b) En déduire que {f} et {g} sont de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R}.
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III.1. (c) Prouver que {g} vérifie la relation (1).
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III.1. (d) Montrer que {f''(x)g(y)=f(x)g''(y)} pour tous {x,y}.
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III.2. Déterminer tous les couples solutions de (3).
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