Ce problème est consacré à quelques-unes des nombreuses formules qui expriment {\pi/4} comme combinaison linéaire à coefficients entiers d’arctangentes d’inverses d’entiers.
La plus célèbre est {\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}}John Machin l’utilisa en 1706 pour calculer 100 décimales de {\pi}. Les formules {\pi/4=\sum\limits_{k=1}^pa_k\arctan(1/b_k)}, où {a_k\in\mathbb Z} et {b_k\geq2} sont entiers, sont ainsi appelées formules « à la Machin ».
Première partie : Machin et Fibonacci
Les questions 1(a) et 1(b) doivent être traitées uniquement par la géométrie.
I.1. (a) Observer la figure et en déduire
{\pi/4=\arctan(1/2)+\arctan(1/3)}.
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I.1. (b) Avec la figure, établir
{\arctan(1/3)=\arctan(1/5)+\arctan(1/8)}. En déduire une nouvelle formule « à la Machin ».
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On définit la suite de Fibonacci par {F_0=0}, {F_1=1}, et {F_n=F_{n-1}+F_{n-2}} pour {n\geq2}. Pour {n\geq1}, on pose {G_n=\arctan(1/F_n)}.
I.2. (a) Prouver {F_{n+1}^2=F_nF_{n+2}+(-1)^n} pour tout {n\in\mathbb N}.
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I.2. (b) En déduire {G_{2n}=G_{2n+1}+G_{2n+2}} pour {n\geq1}. Écrire les égalités pour {n=1,2,3}.
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I.2. (c) Pour {n\geq2}, en déduire {\frac\pi4=\sum_{k=1}^{n-1}\arctan\frac1{F_{2k+1}}+\arctan\frac1{F_{2n}}}Expliciter la formule pour {n=4}. Qu’obtient-on quand {n\to+\infty} ?
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Deuxième partie : Machin et Lehmer
Dans la question 1, {z=a+ib} est donné, avec {a\in\mathbb R} et {b\in\mathbb R^*}.
II.1. (a) Exprimer l’argument de {z} modulo {\pi} en fonction de {\arctan(b/a)} si {a\ne0}, et préciser le cas {a=0}.
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II.1. (b) On pose {\varphi(z)=(-n+i)z}, où {n=\lfloor a/b\rfloor}. Montrer que si {b\gt0}, alors {0\leq\Im\varphi(z)\lt b}, et si {b\lt0}, alors {b\lt\Im\varphi(z)\leq0}.
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Dans la question 2, {a,b\in\mathbb Z^*} et {z_0=a+ib}. Tant que {\Im z_k\ne0}, on pose {z_{k+1}=\varphi(z_k)}.
II.2. (a) Montrer que la suite est finie : il existe un plus petit {p\geq1} tel que {\Im z_p=0}.
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II.2. (b) En déduire l’existence d’entiers {n_0,\ldots,n_{p-1}} tels que {\arctan\frac ba\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\arctan\frac1{n_k}\pmod\pi}Si {n_k=0}, on convient que {\arctan(1/n_k)\equiv\pi/2\pmod\pi}.
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L’algorithme qui passe de {z=a+ib} à la liste {[n_0,\ldots,n_{p-1}]} est attribué à D. H. Lehmer (1938).
II.3. (a) Effectuer les calculs pour {z=20+3i}. En déduire {\arctan\frac3{20}=\arctan\frac16-\arctan\frac1{62}-\arctan\frac1{7628}}
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II.3. (b) Écrire une procédure Maple Lehmer prenant en argument {z=a+ib}, avec {a,b\in\mathbb Z^*}, et renvoyant {[n_0,\ldots,n_{p-1}]}. On rappelle les fonctions Re, Im et floor.
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Troisième partie : Machin et Gregory
Pour {n\in\mathbb N} et {x\in[0,1]}, on pose {u_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}}Ainsi {u_0(x)=x}, {u_1(x)=x-x^3/3}, {u_2(x)=x-x^3/3+x^5/5}, etc.
III.1. Pour {t\in[0,1]}, montrer que {u'_n(t)=\dfrac1{1+t^2}+(-1)^nR_n(t)}, avec {R_n(t)=\dfrac{t^{2n+2}}{1+t^2}}.
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III.2. En déduire que {u_n(x)=\arctan x+(-1)^n\int_0^xR_n(t)\,dt} pour {n\in\mathbb N} et {x\in[0,1]}.
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On remarque que {0\leq R_n(t)\leq t^{2n+2}} pour {0\leq t\leq1}.
III.3. (a) Montrer que {u_{2n+1}(x)\leq\arctan x\leq u_{2n}(x)}.
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III.3. (b) Montrer que {|\arctan x-u_n(x)|\leq x^{2n+3}/(2n+3)}.
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III.4. En déduire que {u_n(x)\to\arctan x}, ce qu’exprime la formule de Gregory (1672) : {\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}}Deux sommes partielles successives encadrent donc {\arctan x}.
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Soit {(F):\pi/4=\sum\limits_{j=1}^pa_j\arctan(1/b_j)} une formule à la Machin, avec {a_j\in\mathbb Z} et {2\leq b_1\lt\cdots\lt b_p} entiers. On pose {v_n=4\sum\limits_{j=1}^pa_ju_n(1/b_j)}.
III.5. (a) Montrer que {v_n\to\pi}. Justifier que, pour rechercher une convergence rapide, on privilégie les formules avec la plus grande valeur de {b_1} possible.
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III.5. (b) Dans le cas de la formule de John Machin, estimer à partir de quand {|\pi-v_n|\leq10^{-100}}.
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Quatrième partie : Machin et Gauss
IV.1. Soient {|x|\geq1} et {|y|\gt1}. Prouver les trois égalités {\begin{array}{l}\arctan(1/x)+\arctan(1/y)=\arctan\dfrac{x+y}{xy-1}\\[4pt]\arctan(1/x)-\arctan(1/y)=\arctan\dfrac{y-x}{1+xy}\\[4pt]2\arctan(1/y)=\arctan\dfrac{2y}{y^2-1}\end{array}}
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IV.2. Démontrer la formule de John Machin {\pi/4=4\arctan(1/5)-\arctan(1/239)}.
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IV.3. (a) Montrer l’égalité {\arctan\frac15=\arctan\frac{17}{331}+\arctan\frac{123}{836}}.
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IV.3. (b) Montrer l’égalité {\arctan\frac{123}{836}=2\arctan\frac3{41}}.
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IV.3. (c) Montrer l’égalité {\arctan\frac{17}{331}=\arctan\frac1{18}-\arctan\frac1{239}}.
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IV.3. (d) Montrer l’égalité {\arctan\frac3{41}=\arctan\frac1{18}+\arctan\frac1{57}}.
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IV.4. En déduire la formule {\frac\pi4=12\arctan\frac1{18}+8\arctan\frac1{57}-5\arctan\frac1{239}}Cette formule, attribuée à Gauss, a permis de calculer un million de décimales de {\pi} en 1974.
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