Le plan euclidien orienté est identifié à {\mathbb C}. Plutôt que d’évoquer le point d’affixe {a}, on parlera simplement du point {a}.
Les propriétés étudiées sont invariantes par similitude. On considère donc un triangle {T} inscrit dans le cercle unité {\mathbb U=\{z:|z|=1\}}, de sommets distincts {a,b,c}. Pour les figures uniquement, on prendra {a=e^{-11i\pi/12}}, {b=e^{-i\pi/12}} et {c=e^{5i\pi/8}}.
I. La droite d’Euler
I.1. On pose {s=a+b} et {h=a+b+c}. Montrer que {0,s,h,c} forment un parallélogramme. En déduire que les hauteurs de {T} se coupent au point {h}.
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I.2. Uniquement dans cette question, on suppose {a+b+c=0}. Montrer que {ab+ac+bc=0}, puis que {a,b,c} sont les trois racines cubiques d’un même nombre complexe de module {1}. Qu’en déduit-on pour {T} ?
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I.3. Soit {m} l’équibarycentre de {a,b,c}. Montrer que {0,m,h} sont alignés, et confondus si et seulement si {T} est équilatéral.
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I.4. Si {T} n’est pas équilatéral, la droite {E} contenant {0,m,h} est appelée droite d’Euler. Montrer que {z\in E\Longleftrightarrow\bar h z-h\bar z=0}.
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I.5. Faire une figure reprenant les résultats de cette partie.
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II. Deux propriétés classiques de l’orthocentre
II.1. Identifier les symétriques de {h} par rapport aux milieux des côtés de {T} et vérifier qu’ils sont sur {\mathbb U}.
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II.2. Montrer que la symétrie orthogonale par rapport à {(ab)} est {\sigma(z)=-ab\bar z+a+b}. Caractériser de même la projection orthogonale sur {(ab)}.
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II.3. Prouver que les symétriques de {h} par rapport aux côtés de {T} sont sur {\mathbb U}.
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II.4. Faire une figure reprenant les résultats de cette partie.
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III. Le triangle orthique
On note {\alpha,\beta,\gamma} les projetés de {h} sur {(bc),(ca),(ab)} : ce sont les pieds des hauteurs issues de {a,b,c}. Le triangle {\mathcal H=\alpha\beta\gamma} est le triangle orthique de {T}.
On suppose ici {T} non rectangle, pour que ces trois points soient distincts.
III.1. Montrer que {\alpha=\frac12(h-\bar a bc)}, en utilisant II.2. Donner les expressions de {\beta} et {\gamma}.
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III.2. En déduire que {(0a),(0b),(0c)} sont respectivement orthogonales à {(\beta\gamma),(\alpha\gamma),(\alpha\beta)}.
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III.3. Montrer que {(\gamma c)} est bissectrice des droites {(\gamma\alpha)} et {(\gamma\beta)}.
Indication : pour établir {(\widehat{\gamma\alpha,\gamma c})=(\widehat{\gamma c,\gamma\beta})\ [\pi]}, utiliser en le justifiant que {a,\gamma,\alpha,c} sont cocycliques, ainsi que {a,\gamma,h,\beta}.
En déduire que, si les angles de {T} sont aigus, le triangle orthique est la trace d’un faisceau lumineux ou la trajectoire d’une boule de billard inscrite dans {T}.
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III.4. Faire une figure reprenant les résultats de cette partie.
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IV. Le cercle d’Euler, ou cercle des neuf points
On appelle cercle d’Euler de {T} le cercle {\mathcal C} circonscrit aux milieux de ses côtés ; le triangle joignant ces milieux est le triangle médian.
IV.1. Montrer que {\mathcal C} a pour centre {k=h/2} et pour rayon {1/2}. Par quelle homothétie de rapport positif se déduit-il de {\mathbb U} ?
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IV.2. (a) Montrer que {\mathcal C} contient les milieux de {[ha],[hb],[hc]}.
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IV.2. (b) Montrer que {\mathcal C} contient {\alpha,\beta,\gamma}, pieds des hauteurs. Ces propriétés justifient le nom de cercle des neuf points.
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IV.3. Faire une figure montrant {\mathbb U,T,\mathcal C} et les trois triangles dont {\mathcal C} est le cercle circonscrit.
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Dans la question 4, {T} est non rectangle ; {h} est donc distinct de {a,b,c}.
IV.4. (a) Quels sont les orthocentres des triangles {hab,hbc,hac} ?
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IV.4. (b) En déduire que ces trois triangles ont le même cercle d’Euler que {T}.
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IV.4. (c) Indiquer comment les cercles circonscrits à {hab,hbc,hac} se déduisent de {\mathbb U}.
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IV.4. (d) Montrer que IV.4(c) est aussi une conséquence de II.3.
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IV.4. (e) Faire une figure illustrant le résultat de cette question.
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V. Une propriété caractéristique du triangle orthique
Les angles de {T} sont maintenant tous aigus. On choisit {u\in[ab]}, {v\in[ac]}, {w\in[bc]} et on note {\Delta} le triangle de sommets {u,v,w}. On veut montrer que son périmètre {\psi(\Delta)} est minimum pour le triangle orthique.
On note {x} et {y} les symétriques de {u} par rapport à {(ca)} et {(cb)}. Lorsque le segment {[xy]} rencontre {[ac]} puis {[bc]}, on note ces intersections {u'} et {u''}.
V.1. (a) Montrer que, si {u} est fixé et si ces intersections appartiennent aux segments indiqués, le périmètre de {\Delta} est minimum pour {v=u'} et {w=u''}.
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V.1. (b) Montrer que la valeur de ce minimum, lorsqu’il est atteint ainsi, est {|b-a|\,|c-u|}.
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V.2. (a) Avec les notations des parties III et IV, montrer que si {u=\gamma}, alors {u'=\beta} et {u''=\alpha}.
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V.2. (b) En déduire que le triangle orthique est le triangle de périmètre minimum inscrit dans {T}.
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