Le billard circulaire

Le but est d’étudier le mouvement d’une boule dans un billard circulaire, identifié au disque unité {D=\{z\in\mathbb C:|z|\leq1\}}. Son bord est le cercle {\Gamma=\{z:|z|=1\}}, de centre {O}.
La boule, assimilée à un point, est lancée depuis {A_0} d’affixe {-1}, avec une vitesse initiale d’affixe {e^{i\theta}}, où {0\lt\theta\lt\pi/2}.
Sa trajectoire {\mathcal T} est une succession infinie de segments séparant les contacts avec {\Gamma}. On néglige les frottements et les chocs sont parfaits : les deux segments à un point de contact sont symétriques par rapport à la normale au cercle.
On note {\mathcal C} la couronne {\sin\theta\leq|z|\leq1}.

Première partie

Deuxième partie

Pour {a\in\mathbb R}, on note {a\mathbb Z=\{ka:k\in\mathbb Z\}}. Une partie {G} de {\mathbb R} est un sous-groupe additif si elle est non vide et si {x-y\in G} pour tous {x,y\in G}. Dans la question 1, {G} est un tel sous-groupe.

Soit désormais {G} un sous-groupe non réduit à {\{0\}}. On note {G^+=G\cap\mathbb R_+^*}.

Dans la question II.2(b), on suppose {a\gt0}.

Troisième partie

On suppose {\theta/\pi} irrationnel. On veut montrer que la trajectoire est dense dans {\mathcal C} : pour tout {B\in\mathcal C} et tout {\varepsilon\gt0}, un point {M\in\mathcal T} vérifie {d(B,M)\lt\varepsilon}.
On pose {\varphi=2\theta+\pi} et {G=\{n\varphi+2m\pi:(n,m)\in\mathbb Z^2\}}.

On pose {H=\{n\varphi+2m\pi:(n,m)\in\mathbb N\times\mathbb Z\}}. Pour montrer sa densité, on fixe {x\lt y} et {\delta=(y-x)/3}.