Polygones réguliers à 5 ou 17 côtés

I.1. Donner les solutions de {(E):z^5-1=0} sous forme trigonométrique.

I.2. Soit {Q} tel que {z^5-1=(z-1)Q(z)}. Avec le changement de variable {\omega=z+1/z}, exprimer les racines de {Q} à l’aide de radicaux.

I.3. En déduire {\cos(2\pi/5)}, {\cos(4\pi/5)}, {\cos(\pi/5)}, {\sin(2\pi/5)}, {\sin(4\pi/5)} et {\sin(\pi/5)} à l’aide de radicaux.

I.4. On se donne deux points distincts {O,I}. Construire à la règle et au compas le pentagone régulier {\Gamma} de centre {O} et de sommet {I}, selon les étapes suivantes :

• Le cercle {\mathcal C} de centre {O}, rayon {OI}, son intersection opposée {I'} avec {(OI)} et le milieu {A} de {[O,I']}.
• La perpendiculaire en {O} à {(OI)}, et une de ses intersections {J} avec {\mathcal C}.
• Le point {B\in[O,I]} tel que {AB=AJ}.
• Le cercle de centre {B} et de rayon {OI}, coupant {\mathcal C} en {M,N}.

Montrer que {M,N} sont des sommets de {\Gamma}, et conclure.

II.1. Montrer que, pour {a\in\mathbb R}, {h\in]0,\pi[} et {n\geq1}, {\sum_{k=0}^{n-1}\cos(a+2kh)=\frac{\sin(nh)\cos(a+(n-1)h)}{\sin h}}

II.2. (a) Montrer que {x_1\gt0}.

II.2. (b) Montrer que {x_1+x_2=1/2}.

II.2. (c) Développer {x_1x_2}, puis linéariser les produits obtenus.

II.2. (d) En déduire {x_1x_2=-2(x_1+x_2)=-1}.

II.2. (e) Donner une expression de {x_1,x_2} à l’aide de radicaux.

II.3. (a) En s’inspirant de la méthode précédente, calculer {y_1y_2} et {y_3y_4}.

II.3. (b) En déduire des expressions de {y_1,y_2,y_3,y_4} à l’aide de radicaux.

II.4. Donner finalement une expression de {\cos(\pi/17)} et de {\cos(2\pi/17)} à l’aide de radicaux.

III.1. (a) Montrer que {\cos4\varphi=1/\sqrt{17}} et {\sin4\varphi=4/\sqrt{17}}.

III.1. (b) En déduire {x_1=\cot(2\varphi)} et {x_2=-\tan(2\varphi)}.

III.1. (c) Montrer que {\begin{array}{ll}y_1=\frac12\cot\varphi,&y_2=-\frac12\tan\varphi\\[4pt]y_3=\frac12\tan(\pi/4-\varphi),&y_4=-\frac12\tan(\pi/4+\varphi)\end{array}}

III.1. (d) En déduire {\begin{array}{l}\cos6\theta+\cos10\theta=\frac12\tan\varphi\\[4pt]\cos6\theta\cos10\theta=\frac14\tan(\varphi-\pi/4)\end{array}}

III.2. Construire à la règle et au compas l’heptadécagone de centre {O(0,0)} et de sommet {I(1,0)} selon les étapes :

• Le cercle {\mathcal C} de centre {O}, de rayon {OI}, et les points {I'(-1,0)}, {J(0,1)}, {A(0,1/4)}.
• {B\in[O,I]} tel que {\widehat{OAB}=\frac14\widehat{OAI}}.
• {C\in[I',O]} tel que {\widehat{CAB}=\pi/4}.
• Le cercle de diamètre {[C,I]}, recoupant {[O,J]} en {D}.
• Le cercle de centre {B}, de rayon {BD}, coupant {[O,I]} en {H_3} et {[I',O]} en {H_5}.
• Les perpendiculaires à {(OI)} en {H_3,H_5}, coupant {\mathcal C} en {M_3,M_5} d’ordonnées positives.

Montrer que {M_3,M_5} sont les troisième et cinquième sommets de l’heptadécagone, numéroté depuis {I=M_0} dans le sens trigonométrique, et conclure.