Ce problème prolonge celui sur la définition de l’exponentielle réelle par les suites adjacentes. Au départ, on ne connaît que l’exponentielle réelle, le logarithme népérien et leurs propriétés : ni l’exponentielle complexe, ni les fonctions trigonométriques, ni même le nombre {\pi} ne sont supposés connus.
La partie I définit l’exponentielle complexe et les puissances {a^z}, pour {a\gt0} et {z\in\mathbb C}. La partie II construit sinus, cosinus, le nombre {\pi} puis tangente. La partie III définit arctangente, l’argument principal et le logarithme principal sur {\mathbb C\setminus\mathbb R_-}.
Il faut donc reconstruire les propriétés sans utiliser prématurément celles des fonctions à définir, respecter l’ordre des questions et préciser les résultats déjà établis auxquels on fait appel.
I. Définition de la fonction exponentielle complexe
Pour {z\in\mathbb C} fixé, on pose {u_n(z)=(1+z/n)^n} pour {n\geq1}.
I.1. (a) Soit {k\in\mathbb N}. Montrer que {n\mapsto n^{-k}\binom nk} est croissante pour {n\geq\max(1,k)}.
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I.1. (b) Montrer que si {1\leq n\lt m}, alors {|u_m(z)-u_n(z)|\leq u_m(|z|)-u_n(|z|)}.
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I.1. (c) En déduire que {(u_n(z))} converge dans {\mathbb C}.
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Pour {z\in\mathbb C}, on définit {\exp(z)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac zn\right)^n}Cette définition prolonge celle de l’exponentielle réelle obtenue dans le problème précédent (DM3).
I.2. (a) Pour {\omega\in\mathbb C}, montrer que {\left|\left(1+\frac\omega n\right)^n-1\right|\leq\left(1+\frac{|\omega|}n\right)^n-1}
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I.2. (b) Montrer que {\exp(z)\exp(z')=\exp(z+z')}. Indication : introduire {\omega_n} tel que {\left(1+\frac zn\right)\left(1+\frac{z'}n\right)=\left(1+\frac{\omega_n}n\right)\left(1+\frac{z+z'}n\right)}
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I.2. (c) Vérifier que {\exp(\bar z)=\overline{\exp(z)}}, {\exp(z)\ne0}, {\exp(-z)=\exp(z)^{-1}} et {|\exp(z)|=\exp(\Re z)}. Montrer que {\exp(z)} est de module {1} si et seulement si {z} est imaginaire pur.
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On pose {e=\exp(1)=\lim\limits_{n\to\infty}(1+1/n)^n}. Le logarithme réel {\ln} est la bijection inverse de l’exponentielle réelle. Pour {a\gt0} et {z\in\mathbb C}, on définit {a^z=\exp(z\ln a)}.
I.3. (a) Vérifier que {\exp(z)=e^z} pour tout {z\in\mathbb C}.
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I.3. (b) Pour {a,b\gt0} et {z,z'\in\mathbb C}, vérifier {a^za^{z'}=a^{z+z'}}, {a^zb^z=(ab)^z} et {(a^b)^z=a^{bz}}.
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II. Cosinus, sinus, tangente et nombre {\pi}
Pour {x\in\mathbb R}, on définit {\cos x=\Re(e^{ix})} et {\sin x=\Im(e^{ix})}. Puisque {e^0=1}, on a {\cos0=1} et {\sin0=0}.
II.1. (a) Montrer que cosinus est paire et sinus impaire.
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II.1. (b) Vérifier {\cos^2x+\sin^2x=1}.
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II.1. (c) Prouver les formules {\begin{array}{l}\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\\[4pt]\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\\[4pt]\sin2x=2\sin x\cos x,\quad\cos2x=2\cos^2x-1\end{array}}
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II.2. (a) Pour {z\in\mathbb C} et {n\geq1}, montrer {\left|\left(1+\frac zn\right)^n-1-z\right|\leq\left(1+\frac{|z|}n\right)^n-1-|z|}
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II.2. (b) Prouver que {|e^z-1-z|\leq|z|^2/(1-|z|)} si {|z|\lt1} ; utiliser aussi le résultat 5(a) du DM3.
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II.2. (c) En déduire que sinus et cosinus sont dérivables sur {\mathbb R}, avec {\sin' x=\cos x} et {\cos' x=-\sin x}. Indication : considérer {e^{i(x+h)}-e^{ix}-ihe^{ix}} pour {|h|\lt1}.
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II.3. (a) Supposons, par l’absurde, {\cos x\gt0} sur {\mathbb R_+}. Pour {a\gt0} fixé, poser {f(x)=\cos x-\cos a+(x-a)\sin a} sur {[a,+\infty[}. Étudier ses variations et en déduire une contradiction.
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II.3. (b) Soit {A=\{x\in\mathbb R_+:\cos x\leq0\}}. Justifier l’existence de {\alpha=\inf A\in\mathbb R_+}. Montrer que {\cos\alpha=0}, puis {\sin\alpha=1}.
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II.3. (c) On définit {\pi=2\alpha}. Vérifier {\cos\pi=-1}, {\sin\pi=0} ; donner {e^{i\pi/2}} et {e^{i\pi}}. Évaluer {\cos(\pi/2-x)}, {\sin(\pi/2-x)}, {\cos(x+\pi)}, {\sin(x+\pi)}, {\cos(\pi-x)} et {\sin(\pi-x)}.
Montrer la {2\pi}-périodicité et en déduire les courbes sur {[-\pi,\pi]}.
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II.4. On définit {\tan x=\sin x/\cos x}. Indiquer son domaine, sa dérivabilité, sa parité et sa périodicité. Vérifier {\lim\limits_{x\to0}\tan x/x=1} et tracer son graphe sur {]-\pi/2,\pi/2[}.
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III. Argument principal et logarithme principal
Pour {x\in\mathbb R}, on pose {t_0(x)=x} et {t_{n+1}(x)=\frac{t_n(x)}{1+\sqrt{1+t_n(x)^2}}}
III.1. (a) Montrer que {2^n|t_n(x)|} décroît, puis que {2^nt_n(x)} converge.
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III.1. (b) On pose {\arctan x=\lim\limits_{n\to\infty}2^nt_n(x)}. Montrer que cette application est impaire.
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III.2. (a) Vérifier {|t_{n+1}(x)|\lt1} et prouver {t_n(x)=2t_{n+1}(x)/(1-t_{n+1}(x)^2)}.
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III.2. (b) En déduire {\frac{1+it_n(x)}{|1+it_n(x)|}=\left(\frac{1+it_{n+1}(x)}{|1+it_{n+1}(x)|}\right)^2}
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III.2. (c) Montrer que {\left(\frac{1+it_n(x)}{|1+it_n(x)|}\right)^{2^n}=\frac{1+ix}{\sqrt{1+x^2}}}pour tout {n\in\mathbb N}.
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Pour {z=x+iy\in\mathbb C\setminus\mathbb R_-} (l’axe réel négatif comprend ici {0}), on a {x\gt-|z|}. On définit {\operatorname{Arg}(z)=2\arctan\frac{\Im z}{\Re z+|z|}}
III.3. (a) Vérifier {\operatorname{Arg}(\lambda z)=\operatorname{Arg}(z)} pour {\lambda\gt0}. En particulier, {\operatorname{Arg}(z)=\operatorname{Arg}(z/|z|)}.
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III.3. (b) Montrer que {\arctan x=\operatorname{Arg}(1+ix)}. Indication : considérer {t_n(x')} avec {x'=t_1(x)}.
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On fixe maintenant {z\in\mathbb C\setminus\mathbb R_-} et on pose {x=\Im z/(|z|+\Re z)}. On veut montrer {z=|z|e^{i\operatorname{Arg}(z)}}.
III.4. (a) Préciser {\omega_n(x)} tel que {1+\frac{i\arctan x}{2^n}=(1+it_n(x))\left(1+\frac{\omega_n(x)}{2^n}\right)}et montrer {\omega_n(x)\to0}.
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III.4. (b) En utilisant le résultat 4(a) du DM3 et I.2(a), prouver {(1+\omega_n(x)/2^n)^{2^n}\to1}. En déduire {(1+it_n(x))^{2^n}\longrightarrow\exp\left(\frac i2\operatorname{Arg}(z)\right)}
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III.4. (c) Utiliser III.2(c) pour montrer {e^{i\operatorname{Arg}(z)}=(1+ix)^2/(1+x^2)=z/|z|}.
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On fixe {\theta\in]-\pi,\pi[} et {x=\tan(\theta/2)} ; on considère de nouveau la suite {t_n(x)}.
III.5. (a) Vérifier {\operatorname{Arg}(e^{i\theta})=2\arctan x}.
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III.5. (b) Donner l’expression de {t_n(x)} pour tout {n}.
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III.5. (c) En déduire {\operatorname{Arg}(e^{i\theta})=\theta} et, en particulier, {\operatorname{Arg}(i)=\pi/2}.
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III.5. (d) Montrer que arctangente est la bijection réciproque de la restriction de tangente à {]-\pi/2,\pi/2[}.
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On définit le logarithme principal par {\operatorname{Log}(z)=\ln|z|+i\operatorname{Arg}(z)} sur {\mathbb C\setminus\mathbb R_-}.
III.6. (a) Montrer que {e^{\operatorname{Log}(z)}=z}.
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III.6. (b) Montrer que l’exponentielle est une surjection de {\mathbb C} sur {\mathbb C^*}.
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