Rappels et notations
Aucune démonstration des propriétés rappelées ici n’est demandée. Sauf indication contraire, les entiers sont relatifs.
Pour {x\in\mathbb R}, {\lfloor x\rfloor} est le plus grand entier inférieur ou égal à {x}, caractérisé par {\lfloor x\rfloor\leq x\lt\lfloor x\rfloor+1}. L’entier plafond {\lceil x\rceil} est le plus petit entier supérieur ou égal à {x}, caractérisé par {\lceil x\rceil-1\lt x\leq\lceil x\rceil}.
Les deux applications sont croissantes au sens large. Pour {p\in\mathbb Z}, {\begin{array}{l}\lfloor x\rfloor=p\Longleftrightarrow x\in[p,p+1[\\[4pt]\lceil x\rceil=p\Longleftrightarrow x\in]p-1,p]\\[4pt]\lfloor x+p\rfloor=\lfloor x\rfloor+p,\quad\lceil x+p\rceil=\lceil x\rceil+p\end{array}}
Énoncé du problème
1. Vérifier {\lfloor-x\rfloor=-\lceil x\rceil} et {\lceil-x\rceil=-\lfloor x\rfloor}.
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2. Pour {x\in\mathbb R} et {p\in\mathbb Z}, montrer {\begin{array}{ll}x\leq p\Longleftrightarrow\lceil x\rceil\leq p,&p\leq x\Longleftrightarrow p\leq\lfloor x\rfloor\\[4pt]x\lt p\Longleftrightarrow\lfloor x\rfloor+1\leq p,&p\lt x\Longleftrightarrow p\leq\lceil x\rceil-1\end{array}}
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3. On note {N(I)} le nombre d’entiers distincts d’un intervalle {I}. Pour {x\lt y}, calculer {N(]x,y[)}, {N([x,y[)}, {N(]x,y])} et {N([x,y])} à l’aide des planchers et plafonds des bornes.
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4. (a) Pour {x\in\mathbb R}, {k\in\mathbb Z} et {n\in\mathbb N^*}, prouver {\left\lfloor\frac{x+k}n\right\rfloor=\left\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor+k}n\right\rfloor}
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4. (b) Pour {x\geq0}, montrer {\left\lceil\sqrt{\lceil x\rceil}\right\rceil=\lceil\sqrt x\rceil}.
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Soit {f:\mathbb R\to\mathbb R} continue et croissante au sens large, telle que {f(x)\in\mathbb Z\Rightarrow x\in\mathbb Z}.
5. (a) Montrer que {\lfloor f(x)\rfloor=\lfloor f(\lfloor x\rfloor)\rfloor} pour tout {x}.
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5. (b) Montrer que {\lceil f(x)\rceil=\lceil f(\lceil x\rceil)\rceil}. On appréciera une démonstration différente de celle de 5(a).
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5. (c) Retrouver les résultats de 4(a) et 4(b).
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Pour {n\in\mathbb N^*}, on veut calculer {S_n=\sum_{k=1}^n\lceil\sqrt k\rceil,\quad T_n=\sum_{k=1}^n\lfloor\sqrt k\rfloor}
6. (a) Supposons {n=m^2}, avec {m\geq1}. En utilisant une partition de {\{1,\ldots,n\}}, montrer {S_n=(m+1)(4m^2-m)/6}.
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6. (b) Dans le cas général, montrer {S_n=\frac{(m+1)(6n-2m^2-m)}6,\quad m=\lfloor\sqrt n\rfloor}
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6. (c) En déduire {T_n=m(6n+5-2m^2-3m)/6}.
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On fixe {x\in\mathbb R}, {m\in\mathbb Z} et {n\in\mathbb N^*}. On veut calculer {U(m,n,x)=\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor\frac{x+km}n\right\rfloor}
7. (a) Montrer {U(1,n,x)=\lfloor x\rfloor}. Indication : commencer par {x\in\mathbb Z}, puis généraliser.
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On suppose maintenant {m} et {n} premiers entre eux. Pour {k\in\{0,\ldots,n-1\}}, on note {f(k)} le reste de la division de {km} par {n}.
7. (b) i. Montrer {\left\lfloor\frac{x+km}n\right\rfloor=\left\lfloor\frac{x+f(k)}n\right\rfloor+\frac{km}n-\frac{f(k)}n}
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7. (b) ii. Montrer que {f} est une bijection de {\{0,\ldots,n-1\}} sur lui-même.
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7. (b) iii. En déduire {U(m,n,x)=\lfloor x\rfloor+(m-1)(n-1)/2}.
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Enfin {m,n} sont quelconques. On note {d=\gcd(m,n)\gt0}, et on écrit {m=dm'}, {n=dn'}, avec {m',n'} premiers entre eux et {n'\gt0}.
7. (c) i. En écrivant {k=n'q+k'} (division euclidienne par {n'}), montrer {\begin{array}{l}U(m,n,x)=\displaystyle\sum_{q=0}^{d-1}\sum_{k'=0}^{n'-1}\left\lfloor\frac{x+(n'q+k')m}n\right\rfloor\\[4pt]\phantom{U(m,n,x)}=\displaystyle\sum_{q=0}^{d-1}\left(qm'n'+\sum_{k'=0}^{n'-1}\left\lfloor\frac{x+k'm}n\right\rfloor\right)\end{array}}
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7. (c) ii. En déduire {U(m,n,x)=m'n'\frac{d(d-1)}2+dU(m',n',x/d)}
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7. (c) iii. Conclure que {\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor\frac{x+km}n\right\rfloor=d\left\lfloor\frac xd\right\rfloor+\frac{mn-m-n+d}2}pour {x\in\mathbb R}, {m\in\mathbb Z}, {n\in\mathbb N^*} et {d=\gcd(m,n)}.
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