Dans tout le problème, {E} est un espace euclidien de dimension {n\geqslant1}. On note {(x\mid y)} le produit scalaire de deux vecteurs de {E}.
1. On note {m} un entier strictement positif quelconque. Pour tous vecteurs {u_1,\ldots,u_m} de {E}, on note {G(u_1,\ldots,u_m)} la matrice carrée d’ordre {m} de terme général {(u_i\mid u_j)}, à l’intersection de la ligne {i} et de la colonne {j}.
On note {\Delta(u_1,\ldots,u_m)=\det G(u_1,\ldots,u_m)}.
(a) Dans le cas particulier où {m=2}, montrer que {\Delta(u_1,u_2)\geqslant0}, avec égalité si et seulement si {u_1,u_2} sont colinéaires.
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(b) Dans le cas général, soit {A} la matrice des vecteurs {u_1,\ldots,u_m} dans une base orthonormée {(e)} de {E}. Montrer que {G(u_1,\ldots,u_m)=A^{\mathsf T}A}.
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(c) Si {m=n}, en déduire {\Delta(u_1,\ldots,u_n)\geqslant0}, avec égalité si et seulement si {u_1,\ldots,u_n} sont liés.
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2. Soit
{u_0,u_1,\ldots,u_m} une famille de
{m+1} vecteurs deux à deux distincts de
{S=\{u\in E:\|u\|=1\}}. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :
Les distances {\|u_j-u_i\|}, pour {i\ne j} dans {\{0,\ldots,m\}}, sont toutes égales ; autrement dit, les vecteurs sont équidistants sur {S}.
Les produits scalaires {(u_i\mid u_j)}, pour {i\ne j}, sont tous égaux.
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Dans la suite, on suppose que les conditions précédentes sont réalisées.
3. On note {\lambda} la valeur commune des produits scalaires {(u_i\mid u_j)} pour {i\ne j}. Montrer que {-1\leqslant\lambda\lt1} et que {\Delta(u_0,\ldots,u_m)=(1+m\lambda)(1-\lambda)^m}
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4. En déduire que si {u_0,\ldots,u_m} sont libres, alors {m\lt n} et {-1/m\lt\lambda\lt1}.
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5. Dans cette question, on suppose que {u_0,\ldots,u_m} sont liés. On dira dans ce cas que la famille possède la propriété {\mathcal P_m}.
(a) Montrer que {\lambda=-1/m}.
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(b) Montrer que la famille {u_0,\ldots,u_m} est de rang {m} ; il en résulte donc {m\leqslant n}.
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(c) Prouver {\sum\limits_{k=0}^mu_k=0} (indication : partir d’une relation de liaison entre les {u_k}).
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6. Dans cette question, on voit comment créer une famille {u_0,\ldots,u_n} ayant la propriété {\mathcal P_n}.
(a) Indiquer comment choisir {u_0,u_1} pour que la famille ait la propriété {\mathcal P_1}.
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(b) Indiquer comment choisir {u_0,u_1,u_2} pour que la famille ait la propriété {\mathcal P_2}.
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(c) Soit
{m\in\{2,\ldots,n\}}. On suppose construite une famille
{u_0,\ldots,u_{m-1}} ayant la propriété
{\mathcal P_{m-1}}. Soit
{F} le sous-espace qu’elle engendre ; on sait que
{\dim F=m-1}.
Soit {v_m} un vecteur unitaire orthogonal à {F}. Pour {0\leqslant k\leqslant m-1}, on pose {v_k=-\frac1m v_m+\sqrt{1-\frac1{m^2}}\,u_k}Montrer que {(v_0,v_1,\ldots,v_m)} possède la propriété {\mathcal P_m}.
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(d) Conclure.
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