Exercice 1
Soit {\varphi} l’endomorphisme de {\mathbb R^4} dont la matrice dans la base canonique est{A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\[4pt]-1&-2&1&-2\\[4pt]2&6&-1&4\\[4pt]4&8&-4&7\end{pmatrix}}
1. Montrer que {A} est inversible et calculer {A^{-1}} (méthode du pivot).
2. On pose{\begin{array}{l}\varepsilon_1=(1,-1,2,2),\\[4pt]\varepsilon_2=(-1,-1,2,4),\\[4pt]\varepsilon_3=(1,0,0,0),\\[4pt]\varepsilon_4=(1,0,1,0).\end{array}}Vérifier que {\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4} forment une base de {\mathbb R^4}.
3. Prouver que la matrice de l’endomorphisme {\varphi} dans cette base est{T=\begin{pmatrix}1&2&0&0\\[4pt]0&1&1&0\\[4pt]0&0&1&0\\[4pt]0&0&0&1\end{pmatrix}}.
4. Montrer que {(A-I_4)^3=0}. Calculer {A^2}.
5. Utiliser les résultats de la question 4. pour retrouver celui de la question 1..
6. Montrer qu’il existe trois suites réelles {(\alpha_n)_{n\geq0}}, {(\beta_n)_{n\geq0}} et {(\gamma_n)_{n\geq0}} telles que, pour tout entier naturel {n}, on ait l’égalité{A^n=\alpha_nA^2+\beta_nA+\gamma_nI_4}(on donnera l’expression de {\alpha_n,\beta_n,\gamma_n}).
7. Montrer que la formule donnant {A^n} est encore vraie pour les exposants négatifs.
8. On appelle commutant de {A} l’ensemble {C(A)} des matrices {M} de {\mathcal M_4(\mathbb R)} qui commutent avec {A}.
Montrer que {C(A)} est une sous-algèbre de dimension {6} de {\mathcal M_4(\mathbb R)}.
Indication : cette question est liée au résultat de la question 3.. On ne cherchera pas à donner la forme générale des matrices de {C(A)}.
Exercice 2
Pour tout {t\in\mathbb R}, on pose{M(t)=\dfrac16\bigl(C_1(t)\ C_2(t)\ C_3(t)\bigr)}, où les trois colonnes sont{C_1(t)=\begin{pmatrix}1+3t+2t^2\\[4pt]1-t^2\\[4pt]1-3t+2t^2\end{pmatrix}}{C_2(t)=\begin{pmatrix}4-4t^2\\[4pt]4+2t^2\\[4pt]4-4t^2\end{pmatrix}}{C_3(t)=\begin{pmatrix}1-3t+2t^2\\[4pt]1-t^2\\[4pt]1+3t+2t^2\end{pmatrix}}.
1. Montrer que, pour tous réels {t,u}, on a {M(t)M(u)=M(tu)}.
2. Montrer que {M(t)} est inversible si et seulement si {t} est non nul, et préciser alors {M(t)^{-1}}.
3. Montrer que{P=\begin{pmatrix}1&-1&2\\[4pt]1&0&-1\\[4pt]1&1&2\end{pmatrix}}est inversible et que {P^{-1}M(t)P} est diagonale.
4. Du résultat de la question 3., déduire une nouvelle preuve de l’égalité {M(t)M(u)=M(tu)}.