Mines-Ponts — PSI — Mathématiques II — 2026
Probabilité qu’un entier choisi uniformément soit sans facteur à la puissance {k}
La première partie établit un développement en série utilisé dans la deuxième pour calculer des valeurs de la fonction zêta à l’aide des nombres de Bernoulli. La troisième partie est indépendante ; la quatrième utilise notamment les valeurs calculées dans la deuxième.
Pour {n\geq1} et {k\geq2}, on notera {q_n(k)} la probabilité qu’un entier tiré uniformément dans {\{1,\ldots,n\}} ne soit divisible par aucune puissance {k}-ième d’un nombre premier.
Partie 1 — Somme de {\sum\limits_{n\geq1}1/(n^2+x^2)}
1. Pour {\theta\in\mathbb R\setminus2\pi\mathbb Z} et {n\geq1}, montrer que {\sum_{k=1}^n\frac{e^{ik\theta}}k=\int_0^1e^{i\theta}\frac{1-(e^{i\theta}t)^n}{1-e^{i\theta}t}\,dt.}
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2. En déduire la convergence de {\sum\limits_{k\geq1}e^{ik\theta}/k} et l’identité {\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{e^{ik\theta}}k=\int_0^1\frac{e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}t}\,dt.}
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3. Pour
{0\lt \theta\lt \pi}, en déduire
{\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\sin(k\theta)/k=(\pi-\theta)/2}.
On pourra poser {u_\theta(t)=\arctan\big(t\sin\theta/(1-t\cos\theta)\big)}.
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4. Pour {S(t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\cos(nt)/n^2}, montrer que {S} est définie et continue sur {\mathbb R}.
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5. Montrer que {S(\theta)=\theta^2/4-\pi\theta/2+S(0)} pour {0\leq\theta\lt \pi}.
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6. Pour
{x\in\mathbb R}, poser
{g_x(t)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\cos(nt)/(n^2(n^2+x^2))}.
Montrer que {g_x\in\mathcal C^2(\mathbb R)} et {g_x''-x^2g_x=-S}.
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7. Pour {x\neq0}, déterminer une solution polynomiale de degré {2} de {y''-x^2y=-t^2/4+\pi t/2-S(0)}.
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8. Calculer
{g_x'(0)} et
{g_x'(\pi)}.
Pour {x\neq0}, montrer que {g_x''(0)=-\frac\pi{2x}\frac{1+e^{-2\pi x}}{1-e^{-2\pi x}}+\frac1{2x^2}.}
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9. En déduire, pour {x\neq0}, {\frac{2\pi x}{e^{2\pi x}-1}=1-\pi x+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2x^2}{n^2+x^2}.}
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Partie 2 — Série entière de {h} et applications
On définit {h(x)=x/(e^x-1)} pour {x\neq0} et {h(0)=1}. On rappelle {\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-s}} pour {s>1}.
10. Pour {|x|\lt 1}, {N\in\mathbb N}, {n\geq1}, montrer que {\frac1{x^2+n^2}=\frac1{n^2}\sum_{k=0}^N\left(-\frac{x^2}{n^2}\right)^k+R_{N,n}(x),}où {R_{N,n}(x)=\frac{(-1)^{N+1}}{x^2+n^2}\frac{x^{2N+2}}{n^{2N+2}}}. Justifier {\sum\limits_{n\geq1}|R_{N,n}(x)|\leq\zeta(2N+2)|x|^{2N+2}}.
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11. Justifier {\zeta(s)\to1} lorsque {s\to+\infty}, puis montrer que {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^2}{x^2+n^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\zeta(2k)x^{2k}\quad(|x|\lt 1).}
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12. Montrer que, pour {|x|\lt 2\pi}, {h(x)=1-\frac x2+\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1}\frac{\zeta(2k)}{2^{2k-1}\pi^{2k}}x^{2k}.}Pour {b_k=h^{(k)}(0)}, déterminer {b_0,b_1,b_{2k},b_{2k+1}} pour {k\geq1}.
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13. Justifier, pour {n\geq1}, {\sum\limits_{k=0}^n b_k/(k!(n+1-k)!)=0}. On pourra utiliser {h(x)(e^x-1)/x=1}.
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14. Calculer {b_2,b_4}, puis {\zeta(2),\zeta(4)}.
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Partie 3 — Entiers sans facteur à la puissance {k}
On note {\mathcal P} l’ensemble des nombres premiers et {p_1\lt p_2\lt \cdots} leur suite croissante. Un entier positif est sans facteur à la puissance {k\geq2} s’il n’est divisible par aucun {p^k}, {p\in\mathcal P}. Pour un entier différent de {1}, cela signifie que tous les exposants de sa factorisation première sont au plus {k-1}.
15. Pour {r\geq1} et {x_1,\ldots,x_r\in\mathbb R}, montrer que {\prod_{i=1}^r(1+x_i)=1+\sum_{m=1}^r\sum_{1\leq i_1\lt \cdots\lt i_m\leq r}x_{i_1}\cdots x_{i_m}.}
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Pour les deux questions suivantes, on travaille sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}.
16. Montrer que {\mathbf1_{\overline A}=1-\mathbf1_A} et {\prod\limits_{j=1}^m\mathbf1_{A_j}=\mathbf1_{\cap_{j=1}^mA_j}}.
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17. En déduire la formule d’inclusion-exclusion {\begin{array}{l}\displaystyle\mathbb P\left(\bigcup_{i=1}^rA_i\right)\\[8pt]\displaystyle\quad=\sum_{m=1}^r(-1)^{m+1}\sum_{i_1\lt \cdots\lt i_m}\mathbb P(A_{i_1}\cap\cdots\cap A_{i_m})\end{array}}
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On fixe {n\geq1} et {k\geq2}. Les nombres premiers au plus égaux à {n} sont {p_1,\ldots,p_r}. Pour {n=1}, on prend {r=0} et les unions et sommes correspondantes sont vides.
La probabilité uniforme sur {\{1,\ldots,n\}} est notée {\mathbb P_n}. On pose {\begin{array}{l}S_n(k)=\{m\in\{1,\ldots,n\}:p_j^k\nmid m\text{ pour tout }j\leq r\},\\[8pt]q_n(k)=\mathbb P_n(S_n(k)),\\[8pt]A_n(d)=\{j\in\{1,\ldots,n\}:d\mid j\}.\end{array}}
18. Justifier {q_n(k)=1-\mathbb P_n(\bigcup_{i=1}^rA_n(p_i^k))} et en déduire {q_n(k)=1+\sum_{m=1}^r\sum_{i_1\lt \cdots\lt i_m}(-1)^m\mathbb P_n\big(A_n(p_{i_1}^k\cdots p_{i_m}^k)\big).}
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La fonction de Möbius {\mu:\mathbb N^*\to\{-1,0,1\}} vaut {1} en {1}, {(-1)^q} sur un produit de {q} nombres premiers distincts, et {0} sur les entiers contenant un facteur carré.
19. Montrer que {q_n(k)=\frac1n\sum\limits_{d=1}^{+\infty}\mu(d)\lfloor n/d^k\rfloor}.
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20. Montrer que
{q_n(k)\to\sum\limits_{d\geq1}\mu(d)/d^k}.
On pourra utiliser les fonctions constantes sur {[d,d+1[} et de valeur {\mu(d)\lfloor n/d^k\rfloor/n}.
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Partie 4 — Calcul de la limite
Pour Q21 et Q22, {s>1}, {u_i=\mu(i)/i^s}, {v_i=1/i^s}, {\begin{array}{l}E_N\!=\!\{1,\ldots,N\}^2,\ F_N\!=\!\{(i,j)\in E_N\;ij\leq N\}\\[8pt]w_N=\displaystyle\sum_{d\mid N}|u_d|v_{N/d},\quad S_N=\sum_{m=1}^Nw_m.\end{array}}
21. Justifier {F_N\subset E_N\subset F_{N^2}} et la convergence de {(S_N)}. En déduire {\sum_{m\geq1}\sum_{d\mid m}|u_d|v_{m/d}=\left(\sum_{i\geq1}\frac{|\mu(i)|}{i^s}\right)\left(\sum_{j\geq1}\frac1{j^s}\right).}
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22. Justifier {\begin{array}{l}\left|\left(\displaystyle\sum_{i=1}^Nu_i\right)\left(\displaystyle\sum_{j=1}^Nv_j\right)-\displaystyle\sum_{m=1}^N\sum_{d\mid m}u_dv_{m/d}\right|\\[8pt]\quad\leq\displaystyle\sum_{(i,j)\in E_N}|u_i|v_j-\sum_{(i,j)\in F_N}|u_i|v_j.\end{array}}En déduire {\sum_{m\geq1}\frac1{m^s}\sum_{d\mid m}\mu(d)=\left(\sum_{i\geq1}\frac{\mu(i)}{i^s}\right)\zeta(s).}
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23. Montrer que {\sum\limits_{d\mid m}\mu(d)} vaut {1} pour {m=1} et {0} sinon.
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24. En déduire {\sum\limits_{i\geq1}\mu(i)/i^s=1/\zeta(s)} pour {s>1}.
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25. Montrer que {\lim\limits_{n\to+\infty}q_n(k)=1/\zeta(k)} et préciser les valeurs pour {k=2,4}.
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