2026-Centrale-Psi2-Corrigé

Centrale — PSI — Mathématiques 2 — 2026

Polynômes de Jacobi

Le problème construit un produit scalaire, introduit les coefficients binomiaux généralisés, puis étudie les polynômes de Jacobi et leur cas particulier de Legendre.

Partie A — Un produit scalaire

Soit {\delta\in\mathbb R}.

Désormais {\alpha,\beta>-1}, sauf mention contraire.

On note {\|P\|=\sqrt{\langle P,P\rangle}}.

I. Premier exemple : {\alpha=\beta=-1/2}. Le poids vaut {1/\sqrt{1-t^2}}.

II. Second exemple : {\alpha=\beta=0}. Le poids vaut {1}.

Partie B — Coefficients binomiaux

Cette partie est indépendante de la précédente.

Pour {\lambda\in\mathbb R} et {\ell\in\mathbb N}, on pose {B_0^\lambda=1} et {B_\ell^\lambda=\frac{\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-\ell+1)}{\ell!}\quad(\ell\geq1).}Par exemple, {B_3^{1/2}=1/16}.

On admet l’identité généralisée {B_k^{s+t}=\sum_{j=0}^kB_{k-j}^sB_j^t}pour {k\in\mathbb N}, {s,t\in\mathbb R}, {k\leq s+t}.

Partie C — Une famille de polynômes

Dans {E=\mathbb R_n[X]}, {n\geq1}, Gram-Schmidt fournit une base orthonormale {(P_0,\ldots,P_n)} telle que, pour {0\leq k\leq n}, {\begin{array}{l}\operatorname{Vect}(P_0,\ldots,P_k)=\mathbb R_k[X],\\[8pt]\langle P_k,X^k\rangle>0.\end{array}}I. Premières propriétés.

II. Une relation entre trois polynômes consécutifs. Soit {1\leq k\leq n-1}.

III. Racines. Soit {1\leq k\leq n}. On note {x_1,\ldots,x_m} les racines de {P_k} dans {]-1,1[}, répétées selon leur multiplicité.

Partie D — Polynômes de Jacobi

I. Définition. Pour {0\leq k\leq n} et {-1\lt x\lt 1}, on pose {\begin{array}{l}g_k(x)=(1-x)^{\alpha+k}(1+x)^{\beta+k},\\[8pt]J_k(x)=\dfrac{(-1)^k g_k^{(k)}(x)}{2^kk!(1-x)^\alpha(1+x)^\beta}.\end{array}}

Ces polynômes sont les polynômes de Jacobi.

II. Orthogonalité. Soient {1\leq k\leq n} et {0\leq i\leq k-1}.

Partie E — Cas {\alpha=\beta=0}

Le produit scalaire est {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,dt}.

Le sujet présente les polynômes de Legendre comme la base orthonormale précédente et les définit par {L_k=\frac1{2^kk!}\big[(X^2-1)^k\big]^{(k)}.}Précision de normalisation. Cette formule définit les polynômes de Legendre usuels, orthogonaux mais non orthonormés : déjà {L_0=1} a une norme {\sqrt2}.

On conserve la formule donnée, utilisée dans toutes les questions suivantes. Les propriétés de degrés, d’orthogonalité, de racines et de récurrence à trois termes restent valables après multiplication de chaque polynôme par une constante non nulle.

I. Premières propriétés.

II. Équation différentielle. On pose {g_k(x)=(1-x^2)^k}.

III. Majoration sur {[-1,1]}.

IV. Récurrence. Soit {1\leq k\leq n-1}.

V. Série génératrice. On prolonge la définition à tout {k\in\mathbb N}, avec les propriétés précédentes. On fixe {x\in[-1,1]}.