Centrale — PSI — Mathématiques 1 — 2026
Obtention de piles successifs lors de lancers d’une pièce
On étudie le premier instant d’apparition de {n} piles consécutifs, puis la probabilité d’en observer au moins une succession au cours de {k} lancers. Ce modèle intervient notamment dans l’étude de réseaux informatiques sans fil.
Les lancers sont indépendants ; les probabilités de pile et face sont {p\in]0,1[} et {q=1-p}. Pour {n\geq1}, {X_n} est le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour la première fois {n} piles consécutifs, avec {X_n=+\infty} si cela ne se produit jamais.
On admet l’existence de l’espace probabilisé nécessaire. On pose {f(t)=t^n-q\sum_{i=1}^np^{i-1}t^{n-i},\quad0\leq t\leq1.}La notation {\operatorname{Re}z} désigne la partie réelle de {z}.
A — Cas {n=1} et {n=2}
I. Cas {n=1}.
Q 1. Donner explicitement la loi de {X_1}.
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Q 2. Donner sa fonction génératrice, son espérance et sa variance.
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Q 3. Démontrer les résultats de 2.
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II. Cas {n=2}.
Q 4. Déterminer {\mathbb P(X_2=1)} et {\mathbb P(X_2=2)}.
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Q 5. Pour {k>2}, si {X_2=k}, quels sont les résultats possibles des deux premiers lancers ?
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Q 6. En déduire, pour {k>2}, {\mathbb P(X_2\!=\!k)\!=\!q\mathbb P(X_2\!=\!k\!-\!1)\!+\!pq\mathbb P(X_2\!=\!k\!-\!2)}
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Q 7. Montrer que {X^2-qX-pq} possède deux racines {r_2\lt r_1} dans {]-1,1[}, avec {|r_2|\lt |r_1|}.
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Q 8. Déterminer le rayon {R} de {\sum\limits_{k=2}^{+\infty}(r_1^{k-1}\!-\!r_2^{k-1})z^k}
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Q 9. Exprimer {\mathbb P(X_2=k)} pour {k>2}.
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Q 10. Exprimer {(X_2=+\infty)} à l’aide des {(X_2\geq k)}, puis montrer que sa probabilité est nulle.
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Q 11. Montrer que {G_{X_2}(z)=p^2z^2/(1-qz-pqz^2)} pour {|z|\lt R}.
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Q 12. Montrer que {X_2} possède une espérance et une variance.
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Q 13. Calculer {\mathbb E(X_2)} et montrer que {\operatorname{Var}(X_2)=p^{-4}+2p^{-3}-2p^{-2}-p^{-1}}.
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B — Cas {n=3}
I. Étude par l’algèbre linéaire.
Q 14. Donner {\mathbb P(X_3=k)} pour {k=1,2,3}.
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Q 15. Montrer que, pour {k>3}, {\begin{array}{l}\mathbb P(X_3=k)=q\mathbb P(X_3=k-1)\\[8pt]\quad+pq\mathbb P(X_3=k-2)+qp^2\mathbb P(X_3=k-3).\end{array}}
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Q 16. Pour {U_k=(\mathbb P(X_3\!=\!k\!+\!2),\mathbb P(X_3\!=\!k\!+\!1),\mathbb P(X_3\!=\!k))^{\mathsf T}}, trouver {M} tel que {U_{k+1}=MU_k}.
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Q 17. Déterminer le polynôme caractéristique {\chi_M}.
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Q 18. Montrer que {\chi_M} possède une unique racine dans {]0,1[}.
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Q 19. Vérifier {(X-p)\chi_M(X)=X^4-X^3+qp^3}, puis montrer que {\chi_M} possède une seule racine réelle.
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Q 20. Justifier que {M} est diagonalisable sur {\mathbb C}.
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Q 21. Sans calculer une matrice de diagonalisation, montrer qu’il existe {A,B,C\in\mathbb C} tels que {\mathbb P(X_3=k)=A\lambda_1^{k-1}+B\lambda_2^{k-1}+C\overline{\lambda_2}^{\,k-1}.}
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Q 22. Déterminer seulement {A} en fonction de {\lambda_1,\lambda_2}.
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Q 23. Si {\lambda_2=re^{i\theta}}, montrer l’existence de réels {a,b,c} tels que {\begin{array}{l}\mathbb P(X_3=k)=a\lambda_1^{k-1}+br^{k-1}\cos((k-1)\theta)\\[8pt]\quad+cr^{k-1}\sin((k-1)\theta).\end{array}}
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Q 24. Montrer que {q\lt \lambda_1}, {\operatorname{Re}(\lambda_2)\lt 0}, {|\lambda_2-1|>1}, puis {|\lambda_2|\lt \lambda_1}.
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Q 25. En déduire {\mathbb P(X_3=k)\sim m\lambda_1^k}, avec {m>0} à calculer.
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II. Cas particulier {p=3/4}.
Q 26. Trouver dans {\mathbb N} une racine de {\chi_M(X/4)}.
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Q 27. En déduire toutes les racines de {\chi_M}.
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Q 28. Déterminer un équivalent de {\mathbb P(X_3=k)}.
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C — Étude générale par la fonction génératrice
On fixe {n\geq1}.
Q 29. Donner {\mathbb P(X_n=k)} pour {1\leq k\leq n}.
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Q 30. Montrer, pour {k>n}, que {\mathbb P(X_n=k)=q\sum_{j=1}^np^{j-1}\mathbb P(X_n=k-j).}
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Q 31. Calculer {f(1)} puis montrer qu’il existe {t\in]p,1[} tel que {f(t)\geq0}.
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On fixe désormais un tel {t}.
Q 32. Montrer par récurrence que {\mathbb P(X_n=k)\leq t^k} pour tout {k\geq1}.
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Q 33. Montrer que {G_{X_n}} est défini pour {|z|\lt 1/t} et que {G_{X_n}(z)=\frac{p^nz^n(1-pz)}{qp^nz^{n+1}-z+1}.}
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Q 34. Montrer que {X_n} possède une espérance et calculer celle-ci.
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Q 35. On admet une décomposition
{G_{X_n}(z)=a+\sum\limits_{i=1}^na_i/(z-\lambda_i)}, avec les
{\lambda_i} distincts de module supérieur à
{1}.
Exprimer {\mathbb P(X_n=k)} pour {k\geq1}.
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D — Apparition d’une succession de piles
L’événement {A_{n,k}} signifie qu’au moins {n} piles consécutifs sont apparus au cours des {k} premiers lancers ; une série plus longue est autorisée. Ainsi {A_{n,k}=(X_n\leq k)}.
On admet qu’à chaque {(b_1,\ldots,b_n)\in\mathbb C^n} correspond une unique suite vérifiant {u_i=b_i} pour {1\leq i\leq n} et {u_k=q\sum_{j=1}^np^{j-1}u_{k-j}\quad(k>n).\tag{\star}}
Q 36. Donner {\mathbb P(A_{n,k})} pour {1\leq k\leq n}.
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Q 37. Montrer que, pour {k>n}, {\mathbb P(A_{n,k})=p^n+q\sum_{j=1}^np^{j-1}\mathbb P(A_{n,k-j}).}
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Q 38. Écrire une fonction Python d’entrées {p,k,n} donnant la liste des {\mathbb P(A_{n,\ell})} pour {1\leq\ell\leq k}.
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Q 39. Déterminer une suite constante vérifiant {v_k=p^n+q\sum\limits_{j=1}^np^{j-1}v_{k-j}}.
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Q 40. Déterminer les {b_i} pour lesquels la suite de {(\star)} vérifie {\mathbb P(A_{n,k})=1-u_k}.
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Q 41. Montrer que {0\lt u_k\lt 1} pour {k\geq n} et que {(u_k)} est décroissante.
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Q 42. Posons
{M=\max\{u_{i+1}/u_i:n\leq i\leq2n-1\}}.
En utilisant {f} et une récurrence d’ordre {n} à partir de {n+1}, montrer qu’il existe {\alpha\in[M,1[} tel que {u_k\leq\alpha^{k-n}} pour {k\geq n+1}.
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Q 43. Déterminer {\mathbb P(\bigcup_{k\geq1}A_{n,k})} et justifier que l’on obtient presque sûrement une série d’au moins {10000} piles.
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Q 44. Pour
{n=5},
{p=1/2}, on admet
{\alpha=0{,}9827} et
{0{,}9827^{95}\leq0{,}193}.
Montrer que cent lancers donnent au moins cinq piles consécutifs avec une probabilité au moins égale à {0{,}8}.
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Q 45. Proposer une démarche, sans effectuer les calculs, pour établir l’existence de {\mu_1,\ldots,\mu_n} de modules inférieurs à {1} et de {c_1,\ldots,c_n} tels que {\mathbb P(A_{n,k})=1-\sum_{i=1}^nc_i\mu_i^k.}
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