École polytechnique — ESPCI 2026 — MP-MPI — Mathématiques B
Pour une matrice réelle {M}, {\operatorname{Sp}(M)} désigne dans ce sujet les valeurs propres réelles accompagnées de leur multiplicité algébrique. On note {\delta_{i,j}} le symbole de Kronecker, {\mathbf1_A} l’indicatrice d’une partie {A} de {\mathbb R}, et {\operatorname{Tr}} la trace.
Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé commun. Les parties III et IV sont indépendantes, ou essentiellement indépendantes, des deux premières.
Préliminaire
1. Pour {\alpha\in\mathbb R}, on définit {u_0=0}, {u_1=1} et {u_n=\alpha u_{n-1}-u_{n-2}} pour {n\geq2}. Exprimer {u_n} en distinguant {|\alpha|>2}, {|\alpha|\lt 2}, {\alpha=2} et {\alpha=-2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Première partie
2. Pour {f\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)}, on pose {v_n\!=\!\frac1n\sum_{k=1}^nf\!\left(\!\frac{k}{n\!+\!1}\!\right),\ w_n\!=\!\frac1n\sum_{k=1}^nf\left(\!\frac{2k}{2n\!+\!1}\!\right)}Montrer que ces suites convergent et ont la même limite.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3a. Pour {f\in\mathcal C([-2,2],\mathbb R)}, prouver la convergence de {I(f)=\frac1\pi\int_{-2}^2\frac{f(x)}{\sqrt{4-x^2}}\,dx}et montrer que {I(f)=\frac1\pi\int_0^\pi f(2\cos\theta)\,d\theta}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On note {f_n(x)=x^n} pour {n\in\mathbb N}.
3b. Calculer {I(f_n)} pour {n=0,1,2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
3c. Calculer {I(f_n)} pour tout {n\geq0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Pour {n\geq1}, soit {U_n} uniforme sur {\{1,\ldots,n\}}.
4a. Pour {f} continue sur {[-2,2]}, prouver que {\mathbb E\!\left[f\!\left(2\cos\frac{\pi U_n}{n+1}\right)\right]\longrightarrow I(f).}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
4b. Pour {y\in[-2,2]}, prouver que {\mathbb P\!\left(2\cos\frac{\pi U_n}{n+1}\lt y\right)\longrightarrow\frac1\pi\int_{-2}^y\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Deuxième partie
Pour {n\geq2}, on considère la matrice tridiagonale {T_n}, de diagonale nulle et de coefficients égaux à {1} sur les deux diagonales voisines : {(T_n)_{j,k}=\delta_{j,k+1}+\delta_{j+1,k}}. On pose {\chi_n(X)=\det(XI_n-T_n)}.
5a. Calculer {\chi_n} et le spectre de {T_n} pour {n=2} et {n=3}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5b. Pour {n\geq4}, exprimer {\chi_n} en fonction de {\chi_{n-1}} et {\chi_{n-2}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5c. Pour {\alpha\in\mathbb C} tel que {|\alpha|\lt 2}, on pose: {r_+=\frac{\alpha+i\sqrt{4-\alpha^2}}2,\quad r_-=\frac{\alpha-i\sqrt{4-\alpha^2}}2}Établir {\displaystyle\chi_n(\alpha)=\frac1{i\sqrt{4-\alpha^2}}\left(r_+^{n+1}-r_-^{n+1}\right)}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
5d. En déduire une expression exacte des coefficients de
{\chi_n}.
On pourra les donner sous forme de sommes de produits de coefficients binomiaux.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
6. Montrer que les valeurs propres de {T_n} sont {2\cos(k\pi/(n+1))}, pour {1\leq k\leq n}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Pour une fonction réelle {f} et une matrice {M\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, on pose {S_f(M)=\frac1n\sum_{(\lambda,m_\lambda)\in\operatorname{Sp}(M)}m_\lambda f(\lambda).}
7. Pour {f} continue sur {[-2,2]}, montrer que {S_f(T_n)\to I(f)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Pour {a,b,c\in\mathbb R}, on note {T_n(a,b,c)} la matrice tridiagonale dont la diagonale vaut {a}, la diagonale supérieure {b} et l’inférieure {c} : son coefficient {(i,j)} vaut {a\delta_{i,j}+b\delta_{i+1,j}+c\delta_{i,j+1}}.
8a. Exprimer le spectre de {T_n(a,b,c)} en fonction de {a} et de celui de {T_n(0,b,c)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
8b. Exprimer le spectre de {T_n(a,b,c)} en fonction de {a} et de celui de {T_n(0,bc,1)}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
8c. Si {bc>0}, exprimer toutes les valeurs propres complexes de {T_n(a,b,c)}. On pourra se ramener au cas {b=c}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On suppose désormais {bc>0}.
9a. Pour toute fonction {f} continue sur {\mathbb R}, montrer que {S_f(T_n(a,b,c))\longrightarrow\frac1\pi\int_{-2}^2\frac{f(a+\sqrt{bc}\,x)}{\sqrt{4-x^2}}\,dx.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
9b. Pour {y\in\mathbb R}, soit {q_n(y)} le nombre de valeurs propres de {T_n(a,b,c)} dans {]-\infty,y]}. Donner un équivalent de {q_n(y)} lorsque {n\to+\infty}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Troisième partie — Approximation de Weierstrass
On doit démontrer le théorème d’approximation, sans l’utiliser dans les questions 10 à 12. On pose {Q_n(X)=(1-X^n)^{2^n},\quad P_n(X)=Q_n\left(\frac{1-X}{2}\right).}Sur {[-1,1]}, {H(x)=0} si {x\lt 0} et {H(x)=1} si {x\geq0}.
10a. Pour {0\leq\kappa\lt 1/2}, montrer que {Q_n} converge uniformément vers {1} sur {[0,\kappa]} et vers {0} sur {[1-\kappa,1]}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
10b. Pour {0\lt \eta\leq1}, montrer que {P_n} converge uniformément vers {H} sur {[-1,1]\setminus[-\eta,\eta]}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Soient {f\in\mathcal C([-1,1],\mathbb R)} et {\varepsilon>0}.
11. En supposant {f(-1)=0}, montrer qu’il existe {N\geq1}, des réels {-1\lt c_1\lt \cdots\lt c_N\lt 1} et des coefficients {a_i\in[-\varepsilon,\varepsilon]} tels que {\left|f(x)-\sum_{i=1}^Na_iH(x-c_i)\right|\leq\varepsilon\quad(-1\leq x\leq1).}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
12. En déduire qu’il existe
{P\in\mathbb R[X]} tel que
{|f(x)-P(x)|\leq\varepsilon} sur
{[-1,1]}.
L’énoncé suggère des sommes de {a_iP_n(X-c_i)} et des intervalles disjoints autour des {c_i}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Quatrième partie
Soit {(W_{i,j})_{1\leq i\leq j}} une famille indépendante de même loi à valeurs dans {\mathbb Z}, telle que {\mathbb E(W_{1,1})=0}, {\mathbb E(W_{1,1}^2)=1} et tous les moments absolus soient finis. On définit la matrice symétrique aléatoire {X_n} par {(X_n)_{i,j}=W_{i,j}/\sqrt n} si {i\leq j}, et {(X_n)_{i,j}=W_{j,i}/\sqrt n} si {j\leq i}.
On pose {S_n(f)=S_f(X_n)} et, pour {f} continue, {\Sigma(f)=\frac1{2\pi}\int_{-2}^2f(x)\sqrt{4-x^2}\,dx.}Pour {k\geq0}, l’hypothèse {(H_k)} est {\begin{array}{l}\dfrac1n\mathbb E(\operatorname{Tr}(X_n^k))\longrightarrow\Sigma(f_k),\\[8pt]\dfrac1{n^2}\mathbb E\bigl((\operatorname{Tr}(X_n^k))^2\bigr)\longrightarrow\Sigma(f_k)^2.\end{array}}
13a. Montrer que {S_n(f_k)=\frac1n\operatorname{Tr}(X_n^k)} pour tout {k\geq0} et tout {n\geq1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
13b. Calculer {\Sigma(f_k)} pour tout entier {k\geq0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
13c. Démontrer {(H_k)} pour {0\leq k\leq2}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Dans la suite, on admet {(H_k)} pour tout {k\geq0}. Pour {B>0}, on pose {g_{k,B}(x)=|x|^k\mathbf1_{\{|x|>B\}}}.
14. Montrer que, pour {\varepsilon>0}, {\mathbb P(S_n(g_{k,B})\geq\varepsilon)\leq\frac{\mathbb E(S_n(f_{2k}))}{\varepsilon B^k}.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
15. En déduire que, pour {B>4} et {\varepsilon>0}, {\mathbb P(S_n(g_{k,B})\geq\varepsilon)\to0}. On pourra utiliser {g_{k,B}\leq g_{k',B}} lorsque {k'\geq k}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On fixe désormais {B>4}.
16. Pour tout entier {k\geq0} et tout {\varepsilon>0}, montrer que {\mathbb P\bigl(|S_n(f_k)-\mathbb E(S_n(f_k))|\geq\varepsilon\bigr)\longrightarrow0.}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Soit {f\in\mathcal C(\mathbb R,\mathbb R)} nulle hors de {[-B,B]}, et soit {\varepsilon>0}.
17a. Montrer qu’il existe un polynôme {P} et un entier {N} tels que, pour {n\geq N}, {\begin{array}{l}\mathbb P(|S_n(f)-\Sigma(f)|\geq\varepsilon)\\[8pt]\quad\leq\mathbb P\left(|S_n(P\mathbf1_{\{|x|>B\}})|\geq\varepsilon/4\right)\\[8pt]\quad+\mathbb P\left(|S_n(P)-\mathbb E(S_n(P))|\geq\varepsilon/4\right).\end{array}}
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
17b. Conclure que {\mathbb P(|S_n(f)-\Sigma(f)|\geq\varepsilon)\to0}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :