2026-Inp-Mp1-Corrigé

CCINP 2026 — MP — Mathématiques 1

Exercice I

La table ELEVES contient les attributs id (clé primaire), nom, prenom, email et promo (année d’admission). La table PAIEMENTS contient id (clé primaire), id_eleve (identifiant de l’élève), montant (en euros) et date_paiement.

Exercice II

Pour une variable aléatoire {X} à valeurs dans {\mathbb N}, on pose {G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(X=n)t^n.}

Problème

Les parties I et II sont indépendantes ; leurs résultats seront utilisés dans la partie III.

I — Calcul d’une intégrale

Pour {x>0}, on pose {g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x e^{it}}{x^2+t^2}\,dt.}

II — Formule sommatoire de Poisson

On pose {f(t)=1/(1+t^2)} et {F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f(x+n)+\sum_{n=1}^{+\infty}f(x-n).}

Pour toute fonction {u} continue et {1}-périodique, et tout {k\in\mathbb Z}, on pose {c_k(u)=\int_0^1u(t)e^{-2i\pi kt}\,dt.}

III — Applications

On conserve les fonctions {f} et {F} définies précédemment.

On admet la relation entre les coefficients d’indices opposés. On pose {G(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n(F)e^{2i\pi nx}+\sum_{n=1}^{+\infty}c_{-n}(F)e^{-2i\pi nx}.}

On admet que deux fonctions continues et {1}-périodiques ayant les mêmes coefficients {c_k}, pour tout {k\in\mathbb Z}, sont égales.