2026-Ens-MpD-Corrigé

Écoles normales supérieures — MP — 2026 — Mathématiques D

Approximations probabilistes

Pour {\lambda>0}, {Z_\lambda} suit la loi de Poisson de paramètre {\lambda} sur {\mathbb N}, avec {\mathbb P(Z_\lambda=n)=e^{-\lambda}\lambda^n/n!}. Toutes les variables considérées sont définies sur un même espace probabilisé.

L’espérance d’une variable positive est autorisée à valoir {+\infty}. Une variable {Y} appartient à {L^1} si {\mathbb E|Y|\lt +\infty}.

Partie préliminaire — Lois de Poisson et inégalités

1. Opérateur de Chen–Stein et approximation poissonienne

1.1. Opérateur de Chen–Stein

On fixe {\lambda>0} et on pose {L_\lambda f(n)=\lambda f(n+1)-nf(n)}. On note {\mathcal F} l’espace des fonctions bornées sur {\mathbb N}, muni de {\|f\|_\infty=\sup_n|f(n)|}.

L’espace {\mathcal G_\lambda} est constitué des fonctions telles que {f(Z_\lambda)\in L^1}, et on pose {\|f\|_{(\lambda)}=\mathbb E|f(Z_\lambda)|}.

1.2. Sommes de variables et approximation poissonienne

Soient {N\geq2} et {X_i} de lois de Bernoulli de paramètres {p_i\in]0,1[}. On pose {\begin{array}{rl}\lambda&=\displaystyle\sum_{i=1}^Np_i,\quad B_1=\sum_{i=1}^Np_i^2,\\[12pt]W&\displaystyle=\sum_{i=1}^NX_i,\quad W_i=W-X_i\end{array}}

1.2.1. Variables indépendantes

On suppose les {X_i} indépendantes et {f\in\mathcal F}.

1.2.2. Variables dépendantes

L’énoncé définit {D_i=\{j\ne i:X_i,X_j\text{ ne sont pas indépendantes}\}}, puis {T_i=\sum\limits_{j\in D_i}X_j}, {S_i=W-T_i-X_i}, {p_{ij}=\mathbb E(X_iX_j)} et {B_2=\sum_i\sum_{j\in D_i}p_ip_j,\quad B_3=\sum_i\sum_{j\in D_i}p_{ij}.}

2. Inégalités de concentration

2.1. Espérance conditionnelle

Soit {X} à valeurs dans un ensemble dénombrable borné {E\subset\mathbb R}, et {Y} à valeurs dans un ensemble dénombrable {F}. On pose {F_Y=\{y:\mathbb P(Y=y)>0\}}.

La variable {\mathbb E[X\mid Y]} est {\varphi(Y)}, où {\varphi(y)=\sum\limits_{x\in E}x\mathbb P(X=x\mid Y=y)} pour {y\in F_Y}, et {\varphi(y)=0} sinon.

On considère également une variable bornée {Z} à valeurs dénombrables. Les calculs conditionnels ci-dessous se font sur les valeurs de {Y} de probabilité positive.

2.2. Un énoncé abstrait

Le couple {(W,W')} à valeurs dans {E^2}, avec {E} dénombrable, est échangeable : il a la même loi que {(W',W)}. Soit {F:E^2\to\mathbb R} bornée et antisymétrique, et soit {\varphi} définie par {\mathbb E[F(W,W')\mid W]=\varphi(W)}.

On définit {\begin{array}{l}\Delta(W)=\dfrac12\mathbb E\bigl[|(\varphi(W)-\varphi(W'))F(W,W')|\mid W\bigr],\\[8pt]m(\theta)=\mathbb E(e^{\theta\varphi(W)}).\end{array}}On suppose qu’il existe {B,C\geq0} tels que {\Delta(W)\leq B\varphi(W)+C} presque sûrement.

3. Applications

3.1. Sommes de variables indépendantes

Soient {X_1,\ldots,X_N} indépendantes, à valeurs dénombrables, avec {|X_i|\leq K}. On considère un vecteur {(X'_i)} indépendant de {(X_i)}, tel que chaque {X_i'} ait la même loi que {X_i}. La variable {I} est uniforme sur {\{1,\ldots,N\}} et indépendante de tous ces vecteurs.

On pose {\mu_i=\mathbb E X_i}, {\sigma_i^2=\operatorname{Var}(X_i)}, {S_N=\sum\limits_iX_i}, {S_N'=S_N-X_I+X'_I}. On fixe {c_i>0} tels que {|X_i-\mu_i|\leq c_i} presque sûrement.

3.2. Permutations aléatoires

La permutation {\pi_N} est uniforme sur {\mathfrak S_N}, et {I,J} sont uniformes sur {\{1,\ldots,N\}}, indépendants entre eux et de {\pi_N}. On pose {\pi_N'=\pi_N\circ(I,J)}, avec {(i,i)} égal à l’identité.

Pour des nombres {0\leq a_{ij}\leq1}, on pose {S_N=\sum\limits_{i=1}^Na_{i,\pi_N(i)}}.

3.3. Magnétisation du modèle de Curie–Weiss

Soient {N\geq1}, {\beta\geq0} et {h\in\mathbb R}. Le vecteur {X\in\{-1,1\}^N} a pour loi {\mathbb P(X=\sigma)=\frac1{Z_N}\exp\left(\frac\beta N\sum_{i\lt j}\sigma_i\sigma_j+\beta h\sum_i\sigma_i\right),}où {Z_N} est la constante de normalisation. On pose {m(X)=N^{-1}\sum\limits_iX_i} et {m_i(X)=N^{-1}\sum\limits_{j\ne i}X_j}.

On choisit {I} uniforme et indépendant de {X}. Pour {j\ne I}, on pose {X_j'=X_j}, et on tire {X_I'} selon sa loi conditionnelle sachant les autres coordonnées : les poids de {1,-1} sont {e^a,e^{-a}}, où {a=\beta h+\beta m_I(X)}, normalisés par une constante {C}.