2026-Ens-MPC-Corrigé

Écoles normales supérieures — MP et MPI — 2026 — Mathématiques C

On travaille dans {\mathbb R^n}, {n\geq1}, muni du produit scalaire canonique {\langle\cdot,\cdot\rangle} et de la norme euclidienne {\|\cdot\|}. La transposée d’une matrice est notée {A^\top}.

Une fonction {f} est convexe si {f(\lambda x+(1-\lambda)x')\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(x')} pour {0\leq\lambda\leq1}. Une application {F} est {L}-lipschitzienne si {\|F(x')-F(x)\|\leq L\|x'-x\|}. Un point fixe vérifie {F(x^*)=x^*}.

Partie I — Inégalités variationnelles et projection sur un convexe fermé

A — Inégalités variationnelles

Soit {G:\mathbb R^n\to\mathbb R^n} et {C} un convexe fermé non vide. Un point {x^*\in C} est une solution forte si {\langle G(x^*),x-x^*\rangle\geq0} pour tout {x\in C}, et une solution faible si {\langle G(x),x-x^*\rangle\geq0} pour tout {x\in C}.

L’opérateur {G} est monotone si {\langle G(x')-G(x),x'-x\rangle\geq0} pour tous {x,x'}.

2) On suppose {G} monotone et continu, et {x^*} solution faible. Pour {x\in C} et {0\lt \lambda\leq1}, on pose {x_\lambda=x^*+\lambda(x-x^*)}.

3) On suppose {n=1}.

B — Projection sur un convexe fermé

Soit {C\subset\mathbb R^n} convexe fermé non vide. On pose {d_C(y)=\inf_{x\in C}\|x-y\|}.

On admet l’unicité du minimiseur, noté {\Pi_C(y)}, ainsi que sa caractérisation : c’est l’unique point {x\in C} tel que {\langle x'-x,y-x\rangle\leq0} pour tout {x'\in C}.

Partie II — Existence et théorème du minimax de von Neumann

On suppose {C} convexe compact non vide et {G} monotone continu.

Pour {\eta>0}, on définit {y_1=0}, {x_1=\Pi_C(y_1)}, puis {y_j=-\eta\sum_{i=1}^{j-1}G(x_i),\quad x_j=\Pi_C(y_j).}On pose {B_j=\|x_j\|^2-\|x_{j+1}\|^2-2\langle y_{j+1},x_j-x_{j+1}\rangle,}et, pour {x\in C}, {D_j(x)=\|x\|^2-\|x_j\|^2-2\langle y_j,x-x_j\rangle.}

Pour {p\geq1}, on note {\Delta_p=\{x\in(\mathbb R_+)^p:\sum\limits_ix_i=1\}}. Soit {A\in\mathcal M_{m,n}(\mathbb R)} et {G(a,b)=(-Ab,A^\top a)} sur {\mathbb R^m\times\mathbb R^n}.

Partie III — Itérations de Krasnoselskii–Mann

Soit désormais {F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n} {1}-lipschitzienne avec un point fixe {x^*}. On fixe {0\lt \theta\lt 1}, {x_1\in\mathbb R^n}, et on pose {x_{k+1}=(1-\theta)x_k+\theta F(x_k)}.

Partie IV — Théorème de Baillon–Haddad et descente de gradient

Soit {f:\mathbb R^n\to\mathbb R} de classe {\mathcal C^1}, convexe, et admettant un point {x^*} tel que {\nabla f(x^*)=0}. On note {I} l’application identité et on fixe {L>0}. Si elle existe, la hessienne est notée {\nabla^2f}.

On considère la propriété {(P)}{f(x')-f(x)-\langle\nabla f(x),x'-x\rangle\leq\!\frac L2\|x'-x\|^2}

On ne suppose plus {f} de classe {\mathcal C^2}, mais on suppose désormais son gradient {L}-lipschitzien.