2026-CNM-Mp1-Corrigé

Concours national commun — MP — 2026 — Mathématiques I

Exercice — La loi binomiale négative

Les variables {(X_i)} sont indépendantes, de même loi de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. L’expérience {i} est un succès lorsque {X_i=1}. On pose {q=1-p} et {S_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i} pour {n\geq1}.

On fixe désormais {n\geq1}.

On définit donc une variable {Y_n} à valeurs dans {\{n,n+1,\ldots\}} par {\mathbb P(Y_n=k)=\binom{k-1}{n-1}p^nq^{k-n}}.

8. On note {Z_n} le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir le {n}-ième succès.

On considère la série entière {\sum\limits_{k\geq n}\mathbb P(Y_n=k)t^k} et on note {f_n} sa somme.

Problème

On note {\operatorname{ch}x=(e^x+e^{-x})/2} et {\operatorname{sh}x=(e^x-e^{-x})/2}. On peut utiliser leurs séries entières et {\frac1{\sqrt{1-u}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}u^n\quad(|u|\lt 1).}On rappelle les intégrales de Wallis {\int_0^\pi\cos^{2n}t\,dt=\frac{\pi(2n)!}{4^n(n!)^2},\quad\int_0^\pi\cos^{2n+1}t\,dt=0.}On pose, lorsque la série converge, {F(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}x^{2n}/(n!)^2}.

Partie 1 — Calcul d’une intégrale auxiliaire

On pose {g(x)=\int_0^{+\infty}e^{-x(1+t)}/((1+t)\sqrt t)\,dt} lorsque cette intégrale existe.

Partie 2 — Étude de la fonction {F}

On pose {f_2(x)=\int_0^{\pi/2}e^{2x\cos t}\,dt}.

Partie 3 — Transformée de Laplace de {F}

Pour {f} continue par morceaux sur {]0,+\infty[} et intégrable sur tout {]0,a]}, on pose, lorsque l’intégrale converge, {L_f(x)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}\,dt}.

On considère {G(t)=e^{2t}/(2\sqrt{\pi t})} pour {t>0}.

Partie 4 — Transformée de Laplace et abscisse de convergence

Pour {f} continue par morceaux et intégrable sur chaque {]0,a]}, on note {I(f)} l’ensemble des {x\in\mathbb{R}} tels que {t\mapsto f(t)e^{-xt}} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+*}}. Le terme « intégrable » signifie ici absolument intégrable.

On note {E} l’ensemble de ces fonctions telles que {I(f)} soit non vide et différent de {\mathbb R}.

17. Soit {g\in E}, positive, dont la transformée est bornée sur {]\alpha(g),+\infty[}.

Partie 5 — Comparaison des transformées de fonctions équivalentes

Soient {g,h\in E} positives telles que {g(t)\sim h(t)} lorsque {t\to+\infty}.

On suppose désormais {\alpha(h)\notin I(h)}.