2026-Centrale-Mp2-Corrigé

Centrale — MP et MPI — 2026 — Mathématiques 2

On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière, caractérisée par {\lfloor x\rfloor\leq x\lt \lfloor x\rfloor+1}. Pour {s\in\mathbb C}, ses parties réelle et imaginaire sont notées {\operatorname{Re}s} et {\operatorname{Im}s}.

Pour {s>1} réel, on définit {\zeta(s)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k^{-s}}. On étudiera des prolongements de cette fonction.

Pour chaque entier {k\geq2}, on pose sur {]0,1]} {f_k(t)=\frac1k\left\lfloor\frac1t\right\rfloor-\left\lfloor\frac1{kt}\right\rfloor.}Le problème établit une condition géométrique suffisante pour la non-annulation du prolongement de {\zeta} dans le demi-plan {\operatorname{Re}s>1/2}, hors son pôle en {1}.

Partie A — Questions préliminaires

I — La fonction {\zeta} sur {]1,+\infty[}

Pour {k\geq1}, on pose {u_k(s)=k^{-s}}.

II — Variable complexe

Dans les questions suivantes, {s\in\mathbb C} vérifie {x=\operatorname{Re}s>1}.

On note {(p_i)_{i\geq1}} la suite croissante des nombres premiers, avec {p_i\to+\infty}.

On note {N_n} l’ensemble des entiers positifs dont les facteurs premiers appartiennent à {\{p_1,\ldots,p_n\}}.

On pose {a_n=\prod\limits_{i=1}^n p_i^x/(p_i^x+1)}.

III — Calcul d’intégrale

On suppose ici {\operatorname{Re}s>1/2}.

IV — Étude géométrique

Pour {0\lt d\lt 1}, on note {\Delta_d} l’ensemble des affixes {s} telles que {d^2|s|^2\geq2\operatorname{Re}s-1}.

Partie B — Étude analytique

I — Transformée de Mellin des fonctions {f_k}

On reprend {k\geq2} et la définition {f_k(t)=k^{-1}\lfloor1/t\rfloor-\lfloor1/(kt)\rfloor}.

Dans les questions suivantes, {s>1} est réel.

On pose {F(s)=\int_0^1\lfloor1/t\rfloor t^{s-1}\,dt}.

II — Prolongement de {\zeta}

On suppose maintenant {s>0} réel.

On admet l’adaptation de cette construction aux nombres complexes de partie réelle strictement positive. Pour {s\ne1} et {0\lt \operatorname{Re}s\leq1}, on définit alors {\zeta(s)=1/(s-1)+G(s)}.

III — Intégrale des fonctions {f_k}

Partie C — Étude algébrique et géométrique

On note {E} l’espace des fonctions réelles continues par morceaux sur {]0,1]}, et {L^2} l’ensemble de celles dont le carré est intégrable sur cet intervalle. Il s’agit ici de fonctions, sans identification de celles qui ne diffèrent qu’en quelques points.

I — Forme bilinéaire symétrique positive

Q 27. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie, en justifiant.

II — Un espace préhilbertien réel

Soit {n\geq2} et supposons {\sum\limits_{k=2}^n\lambda_kf_k=0} sur {]0,1]}, avec des coefficients réels {\lambda_k}.

On pose {F=\operatorname{Vect}(1,f_2,f_3,\ldots)}, où {1} désigne la fonction constante de valeur {1}.

III — Distance à des sous-espaces

On note {d_n} la distance de {1} à {\operatorname{Vect}(f_2,\ldots,f_n)}.

Partie D — Synthèse

On admet Cauchy-Schwarz pour les fonctions complexes continues par morceaux et de carré du module intégrable : {\left|\int_0^1f(t)g(t)\,dt\right|^2\leq\int_0^1|f(t)|^2\,dt\int_0^1|g(t)|^2\,dt.}On fixe {n\geq2}.

On suppose par l’absurde qu’il existe {s\ne1} avec {\operatorname{Re}s>1/2} et {\zeta(s)=0}. On admet que l’identité de Q21 se prolonge à tout {s\ne1} de partie réelle strictement positive.