2026-Mines-PCPsi1-Corrigé

Mines-Ponts 2026 — Mathématiques I — PC

Sommes d’endomorphismes de carré nul

Le fichier fourni est nommé PC-PSI ; sa couverture indique PC. Tous les espaces vectoriels du problème sont complexes et de dimension finie. On pose {\begin{array}{l}\mathcal C(E)=\{u\in\mathcal L(E):u^2=0\},\\[8pt]\Sigma_p\mathcal C(E)=\{u_1+\cdots+u_p:u_i\in\mathcal C(E)\}.\end{array}}Enfin, {\Sigma_\infty\mathcal C(E)} est la réunion de ces ensembles pour {p\geq1}.

A — Réduction des endomorphismes de carré nul

On suppose {\dim E=n>0}, {u^2=0}, {u\ne0} et {r=\operatorname{rg}u}.

B — Somme d’un nombre arbitraire d’endomorphismes de carré nul

On suppose {n\geq2} et on pose {\mathcal H(E)=\{u:\operatorname{tr}u=0\}}. Les matrices élémentaires sont notées {E_{i,j}}. Pour {i\ne j}, on pose {F_{i,j}=E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}-E_{j,i}}.

C — Somme de trois endomorphismes de carré nul

On suppose {n\geq5}. Dans cette partie seulement, on admet le théorème de Wang et Wu : {v\in\Sigma_2\mathcal C(E)} si et seulement si {v} est semblable à {-v}.

On considère {u} de trace nulle tel que {1} soit valeur propre et {d=\dim\ker(u-I)>3n/4}.

On pose {w=u-I} et on prend un endomorphisme quelconque {v\in\mathcal C(E)}.

D — Matrices de Hessenberg

Pour {n\geq2}, une matrice {A=(a_{ij})} est de Hessenberg si {a_{ij}=0} lorsque {i>j+1}. Elle est régulière si, de plus, {a_{i+1,i}\ne0} pour {1\leq i\lt n}.

Pour {C\in\mathbb C^{n-1}}, on pose {E_C=\begin{pmatrix}0_{n-1}&C\\[8pt]0&0\end{pmatrix}}. La notation {\widetilde B(k,l)} désigne la matrice obtenue en retirant la ligne {k} et la colonne {l} de {B}. Enfin, {J_n} est la matrice ayant des {1} juste sous la diagonale et des {0} ailleurs. Elle est de Hessenberg régulière.

E — Somme de quatre endomorphismes de carré nul

Une matrice est dite presque triangulaire supérieure si tous ses coefficients sous la diagonale sont nuls, sauf {a_{n,n-1}}, qui est non nul. On note {V} la matrice obtenue à partir de {J_n} en annulant sa dernière ligne.