Mines-Ponts 2026 — PC — Mathématiques II
Solutions périodiques d’équations différentielles
On considère {y''+b(x)y=c(x)}, notée {(E)}, où {b,c} sont continues et {2\pi}-périodiques sur {\mathbb R}. L’équation homogène est {y''+b(x)y=0}, notée {(E_H)}.
Les solutions sont définies sur toute la droite et de classe {\mathcal C^2}. On note {\mathcal S(E)} l’ensemble des solutions de {(E)}, {\mathcal S(H)} l’espace des solutions homogènes, et {\mathcal B(E),\mathcal B(H)} leurs parties constituées des solutions bornées. Sur l’espace des fonctions bornées, on utilise {\|f\|=\sup\limits_{x\in\mathbb R}|f(x)|}.
Partie 1 — Résultats généraux
1. Montrer que {\mathcal B(H)} est un sous-espace de {\mathcal S(H)}.
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2. Si {(E)} possède une solution bornée {f_0}, montrer que {\mathcal B(E)=f_0+\mathcal B(H)}.
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Pour {f\in\mathcal C^2(\mathbb R)}, on pose {T(f)(x)=f(x+2\pi)}.
3. Si {f} est solution de {(E)}, montrer que {T(f)} l’est aussi.
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4. Si {f\in\mathcal S(E)} vérifie {f(0)=f(2\pi)} et {f'(0)=f'(2\pi)}, montrer qu’elle est {2\pi}-périodique.
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Partie 2 — Coefficients constants
On suppose {\omega>0}, {\omega\ne1}, et {(E)} s’écrit {y''+\omega^2y=\cos x}.
5. Déterminer {d} tel que {f_0(x)=d\cos x} soit solution, puis les solutions homogènes {u,v} satisfaisant {u(0)=1}, {u'(0)=0}, {v(0)=0}, {v'(0)=1}.
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6. Expliciter {\mathcal S(E)} et {\mathcal B(E)}.
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On suppose, dans les trois questions suivantes, que {f} est une solution périodique et que {T>0} est une période de {f}.
7. Montrer qu’il existe {k\in\mathbb N^*} tel que {T=2k\pi}.
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8. Si {f=f_0+Au+Bv}, montrer que {\begin{cases}(\cos(2k\pi\omega)-1)A+\dfrac{\sin(2k\pi\omega)}\omega B=0,\\[8pt]-\omega\sin(2k\pi\omega)A+(\cos(2k\pi\omega)-1)B=0.\end{cases}}
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9. En calculant le déterminant du système, montrer que, si {\omega} est irrationnel, la seule solution périodique est {f_0}.
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10. Si {\omega=p/q} avec {p,q\in\mathbb N^*}, déterminer une période commune à toutes les solutions.
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Partie 3 — Unicité lorsque {b} est négative
On suppose {b(x)=-(1+\cos x)} et {c} continue {2\pi}-périodique. L’équation homogène est {y''-(1+\cos x)y=0}.
11. Pour une solution homogène {g}, montrer que {g^2} est convexe.
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12. Montrer que la fonction nulle est la seule solution homogène bornée.
On admet qu’une fonction convexe non constante n’est pas majorée sur {\mathbb R}.
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13. Montrer que {(E)} possède au plus une solution bornée.
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14. Si {(E)} possède une solution bornée, montrer qu’elle possède une solution {2\pi}-périodique.
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Partie 4 — Existence d’une solution périodique
On conserve {b(x)=-(1+\cos x)}. On admet l’existence d’une suite bornée {(a_n)_{n\geq1}} telle que {\begin{cases}(n^2+1)a_n+\dfrac12(a_{n+1}+a_{n-1})=0&n\geq2,\\[8pt]4a_1+a_2=-2.&\end{cases}}On fixe {M} tel que {|a_n|\leq M} pour tout {n\geq1}.
15. Montrer que les séries {\sum a_n} et {\sum n^2a_n} convergent absolument.
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On pose {g(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n\sin(nx)}.
16. Montrer que {g} est solution de {y''-(1+\cos x)y=\sin x}.
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Pour {n\geq1}, on note {s_n(x)=\sin(nx)} et {s_0=0}. On pose {\mathcal P_N=\operatorname{Vect}(s_1,\ldots,s_N)} et {\mathcal P=\bigcup\limits_{N\geq1}\mathcal P_N}.
17. Montrer que {(s_1,\ldots,s_N)} est une base de {\mathcal P_N}.
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On définit {L(p)=p''-(1+\cos x)p} sur {\mathcal P}.
18. Exprimer {L(s_n)} en fonction de {s_n,s_{n+1},s_{n-1}}.
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19. Montrer que {L} est un endomorphisme injectif de {\mathcal P} et que {s_1} n’est pas dans son image.
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20. En déduire {L(\mathcal P_N)\oplus\mathcal P_1=\mathcal P_{N+1}} pour tout {N\geq1}.
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21. Si {c\in\mathcal P}, montrer que {(E)} possède une solution périodique.
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Partie 5 — Un théorème général
On revient à {b,c} continues et {2\pi}-périodiques, avec {c} non identiquement nulle. On suppose qu’il existe une solution {f_0} telle que {f_0} et {f_0'} soient bornées. On pose {M_0=\|f_0\|}, {M_1=\|f_0'\|} et {\mathcal A=\{f\in\mathcal B(E):\|f\|\leq M_0\}.}On veut montrer que {(E)} possède une solution périodique.
22. Donner un sous-espace de dimension finie {H} de l’espace des fonctions bornées contenant {\mathcal A}. Montrer que {\mathcal A} est fermée, bornée et non vide dans {H}.
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23. Montrer que la borne inférieure {\alpha} de {\{|f(2\pi)-f(0)|+|f'(2\pi)-f'(0)|:f\in\mathcal A\}}est bien définie et atteinte en un {f_1\in\mathcal A}.
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24. Montrer que {\alpha\leq2(M_0+M_1)/(n+1)} pour tout {n\in\mathbb N}. On pourra utiliser {g_n=(n+1)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nT^k(f_0)}.
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25. Conclure que {(E)} possède une solution périodique.
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