2026-Centrale-Pc1-Corrigé

Centrale 2026 — PC — Mathématiques 1

Découverte de la planète Neptune

Les quatre parties sont indépendantes. On note {\mathcal M_3(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles de taille trois.

Le sujet évoque les travaux de Le Verrier sur les trajectoires planétaires : les écarts entre la trajectoire calculée d’Uranus et les observations ont conduit à prévoir l’existence de Neptune, ensuite observée par Galle en 1846.

Partie A — Mouvement d’une planète soumise à la seule attraction du Soleil

Dans le plan euclidien {\mathcal P} muni du repère orthonormé {(O;\vec i,\vec j)}, soient {a,c>0} avec {c\lt a}, et {b=\sqrt{a^2-c^2}}. Les foyers sont {F(c,0)} et {F'(-c,0)}. L’ellipse {\mathcal E} est définie par {MF+MF'=2a}. On note {(x,y)} les coordonnées de {M}.

I — Équation réduite de l’ellipse

II — Étude d’une fonction

Sur {[0,a]}, on pose {f(x)=b\sqrt{1-x^2/a^2}}.

III — Paramètres de l’ellipse

On pose {e=c/a}, l’excentricité de {\mathcal E}.

Partie B — Mouvement des planètes massives avec interactions

Le modèle réduit considère Uranus, Jupiter et Saturne. On introduit des fonctions {h_i,l_i} deux fois dérivables sur {\mathbb R_+}, pour {1\leq i\leq3}, et les colonnes {H_t=(h_i(t))_i}, {L_t=(l_i(t))_i}, {G_t=H_t'}, {K_t=L_t'} et {F_t=H_t''}.

Une matrice réelle constante {B} satisfait {H_t'=BL_t} et {L_t'=-BH_t}.

Dans cette partie uniquement, on suppose que {A} possède trois valeurs propres réelles {\lambda_1\lt \lambda_2\lt \lambda_3\lt 0}.

Partie C — Méthode de Le Verrier pour déterminer les valeurs propres

I — Résolution des équations

On suppose {A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)Q^{-1}}. On pose {S_k=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\lambda_3^k} pour {k=1,2,3}, et {P_A=\alpha_0+\alpha_1X+\alpha_2X^2+\alpha_3X^3}, le polynôme caractéristique de {A}.

II — Étude d’un cas particulier

On pose {A=\frac12\begin{pmatrix}-4&11&13\\[8pt]0&1&7\\[8pt]0&7&1\end{pmatrix},\quad R=X^3+X^2-14X-24.}

Partie D — Perturbation d’une matrice d’ordre trois

On fixe {a\lt b\lt c}, {u,v,w\ne0}, {U=(u,v,w)^{\mathsf T}}, {T=UU^{\mathsf T}} et {D=\operatorname{diag}(a,b,c)}. Pour {t\ne0}, on pose {D(t)=D+tT}. On considère l’équation {\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}=\frac1t\quad (E_t)}

I — Solutions et spectre

Soit {\lambda\notin\{a,b,c\}} une valeur propre de {D(t)}, et soit {X\ne0} un vecteur propre associé.

II — Les limites

On note {g_1,g_2,g_3,g_4} les réciproques des restrictions de {F} aux intervalles {]-\infty,a[}, {]a,b[}, {]b,c[} et {]c,+\infty[}, respectivement.