2025-Inp-Psi-Corrigé

CCINP — PSI — 2025 — Mathématiques

Exercice — Probabilités

Sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal T,\mathbb P)}, on considère {X} suivant la loi de Poisson de paramètre {\lambda>0}. Sa fonction génératrice est {G_X(t)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(X=n)t^n}. On cherche à affiner la majoration donnée par Bienaymé-Tchebychev.

Problème 1 — Séries de Fourier

On calcule les coefficients de Fourier d’une fonction particulière, puis on démontre que cette fonction est égale en tout point à la somme de sa série de Fourier.

Partie I — Calcul des coefficients de Fourier

Soit {f:\mathbb R\to\mathbb R} continue par morceaux sur {[-\pi,\pi]} et {2\pi}-périodique.

Pour {n\in\mathbb N}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle a_n(f)=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\\[8pt]\displaystyle b_n(f)=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.\end{array}}

Partie II — Convergence d’une série de Fourier

La série de Fourier est la série de fonctions de termes {U_0(f)=a_0(f)/2} et {U_n(f)(x)=a_n(f)\cos(nx)+b_n(f)\sin(nx)} pour {n\geq1}.

On admet la convergence simple sur {\mathbb R} de la série de Fourier de {g}. Sa somme est {S_g(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\sin(nx)/n}. On veut montrer {S_g=g}.

Pour {\lambda\in]-1,1[}, on pose {I(\lambda)=\int_0^1dt/(t^2-2\lambda t+1)}.

Problème 2 — Inégalité et matrices de Hadamard

On fixe {n\geq1}. Le produit scalaire canonique des colonnes est {\langle X,Y\rangle=X^\top Y}. On note {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} et {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} les matrices symétriques positives et définies positives.

Partie I — Inégalité arithmético-géométrique

Pour {\lambda_1,\ldots,\lambda_n\geq0}, on pose {A=n^{-1}\sum\limits_i\lambda_i} et {G=(\prod\limits_i\lambda_i)^{1/n}}. On veut montrer {G\leq A}, avec égalité exactement lorsque tous les {\lambda_i} sont égaux.

Le cas où ils sont tous nuls est immédiat. Dans cette partie, on suppose donc {A>0}.

Partie II — Inégalité de Hadamard

On veut établir, pour toute matrice {M=(m_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb R)}, {|\det M|\leq\left(\prod_{j=1}^n\sum_{i=1}^nm_{ij}^2\right)^{1/2}.\tag{3}}De Q25 à Q30, {S=(s_{ij})} appartient à {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}.

On pose {D=\operatorname{diag}(\sqrt{s_{11}},\ldots,\sqrt{s_{nn}})}.

Partie III — Matrices de Hadamard

On note {\mathcal H_n} l’ensemble des matrices {M} à coefficients dans {\{-1,1\}} telles que {M^\top M=nI_n}, et {H=\{n\geq1:\mathcal H_n\ne\varnothing\}}.

Par exemple, {\begin{pmatrix}1&1\\[8pt]1&-1\end{pmatrix}\in\mathcal H_2}. On admet que, lorsque {\mathcal H_n} est non vide, elle contient une matrice dont la première ligne et la première colonne sont constituées de {1}.

On fixe {n\in H} et {M\in\mathcal H_n}.

On suppose désormais {n>2} et la première ligne ainsi que la première colonne de {M} constituées de {1}. On note {C_1,\ldots,C_n} les colonnes de {M}.