2025-E3A-Psi-Corrigé

e3a–Polytech — 2025 — Mathématiques — Psi

Le sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Question préliminaire. On pose {\varphi(t)=2t^3-t^2+1} pour {t\in\mathbb R}.

On considère {f:\mathbb R^2\to\mathbb R}, {f(x,y)=x^3+y^2}.

On note {D=\{(x,y):x^2+y^2\leq4\}} le disque fermé de centre zéro et de rayon {2}.

Exercice 2

On considère, pour {y\in C^2(\mathbb R)}, l’équation {(E):\quad x^2y''(x)+xy'(x)-(x^2+x+1)y(x)=0\quad(x\in\mathbb R).}

On cherche une solution {f} développable en série entière, avec {f'(0)=1}. On suppose {f(x)=\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n} sur un intervalle {]-R,R[}, {R>0}.

Soit {y\in C^2(\mathbb R)} une solution de {(E)}. On pose {z(x)=xy(x)e^x}.

On admet que ce sont toutes les solutions de {(F)} sur {\mathbb R}.

Exercice 3

Pour {n\geq2} et {r\in\mathbb R}, on considère la matrice {M_r} dont les coefficients diagonaux valent {1} et tous les autres {r}. La matrice {J} a tous ses coefficients égaux à {1}. Sur {\mathbb R^n}, le produit scalaire canonique est {(X\mid Y)=X^TY}.

Pour {X,Y\in\mathbb R^n}, on pose {f_r(X,Y)=X^TM_rY}.

Exercice 4

Questions de cours

Soient {X,Y} indépendantes, à valeurs dans {\mathbb N}, telles que {\mathbb P(X=k)=\mathbb P(Y=k)=pq^k} pour {k\geq0}, où {0\lt p\lt 1} et {q=1-p}.

On pose {V=Y-X} et {M=\min(X,Y)}.