2025-Centrale-Psi2-Corrigé

Centrale — PSI — 2025 — Mathématiques 2

Attribution d’une valeur à des séries divergentes

Dans une lettre à Hardy du 23 février 1913, Ramanujan présentait une théorie attribuant la valeur {-1/12} à la somme {1+2+\cdots+n+\cdots}. Le problème étudie deux procédés faisant apparaître cette valeur, puis la constante de Ramanujan à partir d’Euler-Maclaurin, et enfin des développements tayloriens généralisés.

Il s’agit de valeurs attribuées par des procédés de régularisation ; la série ordinaire de terme général {n} diverge.

On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x}, caractérisée par {x-1\lt \lfloor x\rfloor\leq x}. Une fonction sur {\mathbb R_+} est à support compact s’il existe {K\geq0} tel qu’elle soit nulle sur {[K,+\infty[}.

Partie A — Deux approches pour une valeur à {1+2+\cdots}

I — Une première approche

On pose {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}}.

II — Une deuxième approche

Soit {\varphi\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+)} à support compact, avec {\varphi(0)=1}. On fixe {K>0} tel que {\varphi} soit nulle sur {[K,+\infty[}, et on pose {\psi(t)=t\varphi(t)}. Toutes les dérivées de {\psi} sont nulles sur {[K,+\infty[}.

II.1 — Sommes de Riemann pour une fonction de classe {\mathcal C^1}

Ici, {f\in\mathcal C^1([a,b])} et {x>0}.

II.2 — Développement asymptotique de {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n\varphi(nx)}

Pour alléger les formules, on note {m=\lfloor K/x\rfloor}. Pour {k,l\in\mathbb N}, on pose {R_{k,l}(x)=\sum_{n=1}^m\int_{(n-1)x}^{nx}\left(\int_{nx}^t\frac{(t-s)^k}{k!}\psi^{(k+l)}(s)\,ds\right)dt.}On admet la formule de Taylor avec reste intégral : {f(b)=\sum_{k=0}^p\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^b\frac{(b-t)^p}{p!}f^{(p+1)}(t)\,dt.}Toutes les limites suivantes en zéro sont prises à droite.

Partie B — Les sommes infinies au sens de Ramanujan

Soit {f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R_+)}.

I — La formule d’Euler-Maclaurin

On admet l’existence et l’unicité de la famille de Bernoulli définie par {B_0=1}, {B_p'=pB_{p-1}} et {\int_0^1B_p(t)\,dt=0} pour {p\geq1}.

On pose {b_p=B_p(0)}, {\widetilde B_p(t)=B_p(t-\lfloor t\rfloor)} et {r_{p,a}=\int_1^a\frac{\widetilde B_p(t)}{p!}f^{(p)}(t)\,dt.}Les valeurs de {a} utilisées ci-dessous sont dans le domaine de {f}.

II — La constante de Ramanujan

On suppose qu’il existe {q\in\mathbb N} tel que, pour tout {p\geq q}, {f^{(2p+1)}} soit intégrable sur {\mathbb R_+} et tende vers zéro à l’infini.

On pose, sous réserve d’existence, {C_0=\frac{f(1)}2-\int_0^1f(t)\,dt+\int_1^{+\infty}\widetilde B_1(t)f'(t)\,dt,}et, pour {p\geq1}, {\begin{array}{rl}C_p={}&\displaystyle\frac{f(1)}2-\int_0^1f(t)\,dt-\sum_{l=1}^p\frac{b_{2l}}{(2l)!}f^{(2l-1)}(1)\\[8pt]&\displaystyle+\int_1^{+\infty}\frac{\widetilde B_{2p+1}(t)}{(2p+1)!}f^{(2p+1)}(t)\,dt.\end{array}}

Partie C — Développements tayloriens généralisés

On munit {E=\mathcal C([0,1])} de la norme uniforme. Une forme linéaire {\varphi} est continue si et seulement s’il existe {C\geq0} tel que {|\varphi(g)|\leq C\|g\|_\infty} pour tout {g\in E}.

On fixe une telle forme avec {\varphi(1)=1}. On définit {P_0=1}, puis {P_n'=nP_{n-1}} et {\varphi(P_n)=0} pour {n\geq1}. On pose {S(x,t)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{P_k(x)}{k!}t^k.}Dans cette partie, {f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)}.

I — Les formules de Taylor généralisées

II — Formule d’Euler-Boole

On choisit désormais {\varphi(g)=(g(0)+g(1))/2}. Les polynômes correspondants sont notés {E_n} et appelés polynômes d’Euler. On pose {e_n=E_n(0)}.