2025-Centrale-Psi1-Corrigé

Centrale — PSI — 2025 — Mathématiques 1

Conditionnement d’une matrice et applications

Dans tout ce problème, {n\geq1}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’espace des matrices carrées réelles, {\mathcal D_n(\mathbb R)} son sous-espace des matrices diagonales et {M^\top} la transposée de {M}.

On identifie les vecteurs de {\mathbb R^n} aux matrices colonnes et l’on note {(E_1,\ldots,E_n)} la base canonique. Le produit scalaire et la norme sont donnés par {\langle X,Y\rangle=X^\top Y} et {\|X\|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2}}.

On pose {\rho(M)=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}_{\mathbb C}(M)}|\lambda|}. Les ensembles {\mathcal S_n^+(\mathbb R)} et {\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} désignent les matrices symétriques positives et définies positives.

Partie A — Construction d’une norme sur {\mathcal M_n(\mathbb R)}

On étudie {N(A)=\sup_{\|X\|=1}\|AX\|}.

I — Étude de l’application {N}

On note {L_1,\ldots,L_n} les lignes de {A} et {C_1,\ldots,C_n} ses colonnes, identifiées à des vecteurs de {\mathbb R^n}.

II — Cas des matrices orthogonales et symétriques

Dans cette sous-partie, {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et {U} est orthogonale.

Partie B — Conditionnement d’une matrice pour la norme {N}

Pour {A\in\operatorname{GL}_n(\mathbb R)}, on pose {\operatorname{cond}(A)=N(A)N(A^{-1})}.

I — Quelques résultats sur le conditionnement

On suppose {A} inversible et {U} orthogonale.

II — Un exemple de minoration du conditionnement

On suppose {A=(a_{ij})}, où {a_{ii}=1}, {a_{i,i+1}=2} et tous les autres coefficients sont nuls.

Partie C — Conditionnement pour une matrice réelle inversible

Partie D — Calcul explicite de conditionnement

On désigne par {T} la matrice tridiagonale symétrique dont la diagonale vaut {2} et les deux diagonales adjacentes valent {-1}. Tous les autres coefficients sont nuls. On cherche ses éléments propres, puis son conditionnement.

Partie E — Inégalité de Kantorovich

On suppose {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)}, de valeurs propres {0\lt \lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n}, comptées avec multiplicité. On fixe une base orthonormée {\mathcal C=(V_1,\ldots,V_n)} de vecteurs propres.

On veut établir, pour tout {X\in\mathbb R^n}, l’inégalité de Kantorovich : {\begin{array}{c}\|X\|^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\\[8pt]\displaystyle\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\leq\frac14\left(\frac1{\sqrt{\operatorname{cond}(A)}}+\sqrt{\operatorname{cond}(A)}\right)^2\|X\|^4.\end{array}}

I — Une première démonstration

On pose {P=X^2-(\lambda_1+\lambda_n)X+\lambda_1\lambda_n}.

II — Une deuxième démonstration

On admet qu’il suffit d’établir l’inégalité pour un vecteur unitaire. On écrit donc {X=\sum\limits_i x_iV_i}, avec {\sum\limits_i x_i^2=1}.

L’énoncé propose de définir une variable aléatoire {Z} par {Z(\Omega)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}} et {\mathbb P(Z=\lambda_i)=x_i^2}.