Mines–Ponts — 2025 — Mathématiques I — PC
Matrices semblables à leur inverse
On note {\mathcal M_n} l’algèbre des matrices complexes de taille {n} et {\mathrm{GL}_n} le groupe des matrices inversibles. Deux matrices sont semblables s’il existe {P\in\mathrm{GL}_n} tel que {A=P^{-1}BP}. On adopte {\chi_A(X)=\det(XI_n-A)}.
Source : Concours commun Mines–Ponts, énoncé 2025. Le fichier fourni porte le nom « 2025-Mines-PcPsi1.pdf » ; sa couverture indique la filière PC.
Partie 1 — Polynômes réciproques
Pour {p\geq1}, un polynôme {P} de degré {p} est réciproque si {P(X)=X^pP(1/X)}.
1. Pour {P=\sum\limits_{k=0}^pa_kX^k}, avec {a_p\ne0}, montrer que {P} est réciproque si et seulement si {a_k=a_{p-k}} pour {0\leq k\leq p}.
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2. Si {P=a_p\prod\limits_{i=1}^d(X-\lambda_i)^{m_i}}, écrire la factorisation de {X^pP(1/X)} et montrer que, pour {P} réciproque, chaque racine {\lambda_i} est non nulle et {1/\lambda_i} est racine de même multiplicité.
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3. Un polynôme
{Q} de degré
{p} est antiréciproque si
{Q(X)=-X^pQ(1/X)}.
Montrer que {1} est racine de {Q} et que {Q=(X-1)P}, avec {P} constant ou réciproque.
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Soit {R} non constant tel que toute racine {a} soit non nulle et que {1/a} soit racine avec la même multiplicité.
4. Montrer que le produit des racines de {R}, comptées avec multiplicité, vaut {1} ou {-1}.
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5. En déduire que {R} est réciproque ou antiréciproque.
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Partie 2 — Le cas diagonalisable
Soit {A\in\mathrm{GL}_n}.
6. Pour {x\in\mathbb R^*}, exprimer {\det(xI_n-A)} en fonction de {x}, {\det A} et {\det(x^{-1}I_n-A^{-1})}.
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7. Si {A} est semblable à son inverse, déterminer les valeurs possibles de {\det A} et montrer que {\chi_A} est réciproque ou antiréciproque.
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8. Soit
{B} diagonalisable dont le polynôme caractéristique est réciproque ou antiréciproque.
Montrer que {B} est inversible et semblable à son inverse.
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9. Montrer que
{B=\begin{pmatrix}2&0&0&0\\[8pt]0&2&0&0\\[8pt]0&0&1/2&1\\[8pt]0&0&0&1/2\end{pmatrix}} n’est pas semblable à son inverse, bien que
{\chi_B=(X-2)^2(X-1/2)^2} soit réciproque.
On pourra comparer les espaces propres de valeur {2}.
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Le polynôme caractéristique ne suffit donc pas hors du cas diagonalisable. La suite utilise une autre caractérisation.
Partie 3 — Produits de matrices de symétries
Une symétrie est un endomorphisme {s} tel que {s^2=\mathrm{Id}}. Une matrice de symétrie vérifie {S^2=I_n}.
10. Si {S_1,S_2} sont des matrices de symétries, montrer que {A=S_1S_2} est inversible et semblable à son inverse.
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11. Si {A} est produit de deux matrices de symétries, en est-il de même de toute matrice semblable à {A} ?
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Soient {B,C\in\mathrm{GL}_n} et {A=\operatorname{diag}(B,C)\in\mathcal M_{2n}}.
12. Pour {S_1=\begin{pmatrix}0&P\\[8pt]Q&0\end{pmatrix}}, avec {P,Q\in\mathrm{GL}_n}, déterminer les conditions pour que {S_1} et {S_2=S_1A} soient des matrices de symétries.
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13. Si {C} est semblable à {B^{-1}}, montrer que {A} est produit de deux matrices de symétries.
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Partie 4 — La matrice {J_n(\lambda)}
14. Soit {g} un endomorphisme d’un espace complexe de dimension {n}, avec {g^n=0} et {g^{n-1}\ne0}. Montrer qu’il existe une base où sa matrice est {N=(n_{ij})}, avec {n_{i,i+1}=1} et tous les autres coefficients nuls.
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15. Pour {\lambda\ne0}, poser {J_n(\lambda)=\lambda I_n+N}. Montrer qu’elle est inversible et déterminer {N'} tel que {J_n(\lambda)^{-1}=\lambda^{-1}I_n+N'}.
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16. Calculer {(N')^n} et montrer que {J_n(\lambda)^{-1}} est semblable à {J_n(1/\lambda)}.
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Sur {\mathbb C_{n-1}[X]}, on définit {s_1(P)=P(-X)}, {s_2(P)=P(1-X)} et {g(P)=P(X+1)-P(X)}. Ce sont des endomorphismes.
17. Calculer {s_1^2,s_2^2} et exprimer {s_1\circ s_2} en fonction de {g} et de l’identité.
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18. Pour {P} non constant, exprimer {\deg g(P)} en fonction de {\deg P}.
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19. En déduire que {J_n(1)} est produit de deux matrices de symétries.
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On admet que {J_n(-1)} est également produit de deux matrices de symétries.
Partie 5 — Caractérisation des matrices semblables à leur inverse
Soit {A\in\mathrm{GL}_n} semblable à son inverse. On admet l’existence d’une forme de Jordan {A'=\operatorname{diag}(J_{n_1}(\lambda_1),\ldots,J_{n_r}(\lambda_r))} semblable à {A}, unique à l’ordre des blocs près. Les valeurs {\lambda_i} peuvent se répéter.
20. Montrer que {A^{-1}} est semblable à {\operatorname{diag}(J_{n_1}(1/\lambda_1),\ldots,J_{n_r}(1/\lambda_r))}.
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21. Démontrer que {A} est produit de deux matrices de symétries.
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