CCINP — 2025 — Mathématiques — PC
Le sujet comporte trois exercices indépendants.
Exercice 1 — Étude d’un endomorphisme matriciel
On fixe {n\geq1}. Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on définit {\varphi_A:\mathcal M_n(\mathbb C)\to\mathcal M_n(\mathbb C)} par {\varphi_A(M)=AM}. Ainsi {\varphi_{O_n}=0} et {\varphi_{I_n}=\mathrm{Id}}.
Partie I — Généralités
Q 1. Montrer que {\varphi_A} est un endomorphisme de {\mathcal M_n(\mathbb C)}.
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Q 2. Montrer {\varphi_A\circ\varphi_B=\varphi_{AB}}.
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Q 3. Montrer que
{\varphi_A} est un isomorphisme si et seulement si
{A} est inversible.
On pourra considérer un antécédent de {I_n}.
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Partie II — Étude d’un exemple
Ici {n=2}, {a\in\mathbb C} et {A=\begin{pmatrix}1&1\\[8pt]0&a\end{pmatrix}}.
Q 4. Déterminer la condition nécessaire et suffisante sur {a} pour que {A} soit diagonalisable.
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Q 5. Déterminer la matrice de {\varphi_A} dans la base {\mathcal C=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})}, où {E_{ij}} est la matrice élémentaire.
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Q 6. En déduire les valeurs propres de {\varphi_A} et les dimensions de ses espaces propres selon {a}.
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Q 7. Déterminer quand {\varphi_A} est diagonalisable.
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Partie III — Réduction dans le cas général
On reprend {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}.
Q 8. Montrer {\varphi_A^k=\varphi_{A^k}} pour tout {k\in\mathbb N}.
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Q 9. En déduire {P(\varphi_A)=\varphi_{P(A)}} pour tout {P\in\mathbb C[X]}.
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Q 10. Rappeler le critère de diagonalisabilité par un polynôme annulateur et en déduire que {A} est diagonalisable si et seulement si {\varphi_A} l’est.
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Q 11. Montrer {\chi_A(\varphi_A)=0}, puis que {A} et {\varphi_A} ont les mêmes valeurs propres.
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Q 12. Pour {\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}, montrer {M\in E_\lambda(\varphi_A)} si et seulement si toutes les colonnes de {M} appartiennent à {E_\lambda(A)}.
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L’application {\Psi} qui associe à une matrice le {n}-uplet de ses colonnes induit donc un isomorphisme {E_\lambda(\varphi_A)\simeq E_\lambda(A)^n}.
Q 13. Lorsque {A} est diagonalisable, exprimer {\det\varphi_A} et {\operatorname{tr}\varphi_A} en fonction de {\det A} et {\operatorname{tr}A}.
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Exercice 2 — Les polynômes de Hermite
On définit {H_0=1} et {H_{n+1}=2XH_n-H_n'} pour {n\geq0}.
Partie I — Préliminaires
I.1. Un produit scalaire sur les polynômes
Q 14. Pour {n\geq0}, montrer que {t\mapsto t^ne^{-t^2}} est intégrable sur {[0,+\infty[}, puis sur {\mathbb R}.
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Q 15. En déduire que {R(t)e^{-t^2}} est intégrable sur {\mathbb R} pour tout polynôme réel {R}.
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On peut donc définir {\phi(P,Q)=\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2}\,dt} pour {P,Q\in\mathbb R[X]}.
Q 16. Montrer que {\phi} est un produit scalaire sur {\mathbb R[X]}.
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I.2. Calcul de l’intégrale de Gauss
On pose {u(x)=\int_0^xe^{-t^2}\,dt} et {v(x)=\int_0^1e^{-(1+t^2)x^2}/(1+t^2)\,dt}.
Q 17. Justifier {u\in C^1(\mathbb R)} et donner sa dérivée.
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Q 18. Justifier {v\in C^1(\mathbb R)} et donner sa dérivée.
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Q 19. Montrer que {u^2+v} est constante sur {\mathbb R} et vaut {\pi/4}.
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Q 20. En déduire {\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi}.
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Partie II — Propriétés des polynômes de Hermite
On pose {f(x)=e^{-x^2}}.
Q 21. Montrer que {H_n} a le degré {n} et le coefficient dominant {2^n}.
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Q 22. Montrer {f^{(n)}(x)=(-1)^nH_n(x)f(x)} pour tout {n\geq0} et {x\in\mathbb R}.
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Q 23. Pour {p\leq q} et {0\leq k\leq q}, montrer {\phi(H_p,H_q)=(-1)^{q-k}\int_{-\infty}^{+\infty}H_p^{(k)}(t)f^{(q-k)}(t)\,dt.}
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Q 24. Montrer que {(H_0,\ldots,H_d)} est une base orthogonale de {\mathbb R_d[X]}.
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Q 25. Calculer la norme de {H_p} pour ce produit scalaire.
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Partie III — Série génératrice exponentielle
On fixe {x\in\mathbb R}.
III.1. Expression de la série génératrice
Q 26. Donner les séries entières de {z\mapsto e^{2xz}} et {z\mapsto e^{-z^2}}, avec leurs rayons de convergence.
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Q 27. Montrer qu’il existe des coefficients
{c_n} tels que
{e^{-(x-z)^2}=\sum\limits_{n\geq0}c_nz^n} sur
{\mathbb C}, avec rayon infini.
On ne demande pas leur expression explicite.
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En particulier, pour tout réel {t}, {f(x-t)=\sum\limits_{n\geq0}c_nt^n}.
Q 28. En utilisant 22, montrer que {\sum\limits_{n\geq0}H_n(x)z^n/n!} a un rayon infini et que sa somme est {e^{2xz-z^2}}.
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III.2. Expression intégrale
On fixe {p\geq0}, on pose {G_x(z)=e^{2xz-z^2}} et {g_n(\theta)=H_n(x)e^{i(n-p)\theta}/n!}.
Q 29. Montrer que {\sum\limits_{n\geq0}g_n} converge normalement sur {[0,2\pi]}.
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Q 30. Montrer {H_p(x)=\frac{p!}{2\pi}\int_0^{2\pi}G_x(e^{i\theta})e^{-ip\theta}\,d\theta}.
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Exercice 3 — Succession de tirages dans une urne
On fixe une suite {(u_n)_{n\geq1}} d’entiers strictement positifs. L’urne contient initialement une boule blanche et une rouge. Au {k}-ième tirage, si la boule est blanche, on la remet et l’on ajoute {u_k} boules blanches ; si elle est rouge, on la remet sans rien ajouter. Les boules sont indiscernables au toucher.
On note {B_n} l’événement « le {n}-ième tirage est blanc », {E=\bigcap_{n\geq1}B_n}, et {S_0=1}, {S_n=1+\sum\limits_{k=1}^nu_k}.
Partie I — Probabilité de {E}
On pose {p_n=\mathbb P(\bigcap_{k=1}^nB_k)} pour {n\geq1}.
Q 31. Montrer que {(p_n)} décroît et converge, puis que {\mathbb P(E)=\lim\limits_{n\to\infty}p_n}.
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Q 32. Si les {k} premiers tirages sont blancs, décrire l’urne juste avant le {(k+1)}-ième tirage et en déduire sa probabilité conditionnelle d’être blanc.
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Q 33. Montrer {p_n=\prod\limits_{k=0}^{n-1}S_k/(S_k+1)} pour {n\geq1}.
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Partie II — Caractérisation de {\mathbb P(E)=0}
Q 34. Montrer {S_n\to+\infty}.
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Q 35. Montrer que les séries {\sum\limits_k\ln(S_k/(S_k+1))} et {\sum\limits_k1/S_k} sont de même nature.
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Q 36. Montrer {\mathbb P(E)=0} si et seulement si {\sum\limits_k1/S_k} diverge.
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Q 37. Si {u_n=1} pour tout {n\geq1}, déterminer {\mathbb P(E)}.
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Q 38. Proposer une suite {(u_n)} telle que {\mathbb P(E)\ne0}, en justifiant.
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