2025-Centrale-Pc1-Corrigé

Centrale–Supélec — 2025 — Mathématiques 1 — PC

Un principe d’incertitude matriciel

Pour un endomorphisme {\varphi} d’un espace complexe {E}, on note {\operatorname{VP}(\varphi)} l’ensemble de ses valeurs propres, et {E_\lambda(\varphi)=\ker(\varphi-\lambda\mathrm{Id})}.

Sur {\mathbb R^N}, {\|x\|=(\sum\limits_{i=1}^Nx_i^2)^{1/2}} est la norme euclidienne. On note {\mathcal M_N(\mathbb R)} l’espace des matrices carrées réelles, {I_N} l’identité, {\operatorname{Sp}(A)} le spectre d’une matrice et {\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_N)} la matrice diagonale correspondante.

Les ensembles {\mathcal S_N}, {\mathcal S_N^+} et {\mathcal S_N^{++}} désignent les matrices symétriques, positives et définies positives.

Partie A — Autour du principe d’incertitude d’Heisenberg

Dans cette partie, {E=C^\infty(\mathbb R,\mathbb C)}.

I. Valeurs propres de l’opérateur dérivée seconde

II. Cas des fonctions gaussiennes

Pour {a>0}, on pose {G_a(t)=e^{-at^2/2}}. On admet {\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)\,dt=\sqrt{\frac{2\pi}a}.}On fixe {a>0}.

On définit {\widehat G_a(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(t)e^{-i\xi t}\,dt}.

On définit les quantités positives par {\begin{array}{rl}\sigma_F^2(G_a)&=\dfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}u^2\widehat G_a(u)^2\,du}{2\pi\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,du},\\[16pt]\sigma_T^2(G_a)&=\dfrac{\int_{-\infty}^{+\infty}u^2G_a(u)^2\,du}{\int_{-\infty}^{+\infty}G_a(u)^2\,du}.\end{array}}

Pour les fonctions non nulles d’une classe {\mathcal S}, l’inégalité d’Heisenberg affirme {\sigma_T^2(f)\sigma_F^2(f)\geq1/4}. Ces quantités représentent les étalements temporel et fréquentiel d’un signal. Les multiples des gaussiennes sont les seuls cas d’égalité. Ainsi {\gamma(x)=\min_{f\in\mathcal S\setminus\{0\},\ \sigma_F^2(f)=x}\sigma_T^2(f)} pour {x>0}.

La suite établit un analogue pour des signaux discrets, éléments de {\mathbb R^N}, relativement à une matrice donnée.

Partie B — Laplacien d’une matrice

On suppose {N\geq2}. L’ensemble {\mathcal G} est celui des matrices symétriques de taille {N}, à coefficients dans {\{0,1\}} et de diagonale nulle. Pour {A=(a_{ij})\in\mathcal G}, on pose {\begin{array}{rl}\delta(A)&\displaystyle=\operatorname{diag}\left(\sum_{k=1}^Na_{1k},\ldots,\sum_{k=1}^Na_{Nk}\right)\\[8pt]&\displaystyle L_A=\delta(A)-A\end{array}}I. Étude d’un élément de {\mathcal G}

On considère {B=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\[8pt]0&0&1&0\\[8pt]0&1&0&0\\[8pt]1&0&0&0\end{pmatrix}.}

II. Étude du noyau

Soit {A\in\mathcal G}. On note {\mathbf1_N} le vecteur dont toutes les coordonnées valent {1}.

On identifie un vecteur {x=(x_1,\ldots,x_N)} à une matrice colonne, et {x^T} à la ligne transposée.

Partie C — Région de faisabilité, courbe d’incertitude

Dans les parties C et D, {N\geq4} et {A} est la matrice de l’étoile : {a_{1j}=a_{j1}=1} pour {2\leq j\leq N}, tous les autres coefficients étant nuls.

I. Définitions de {\sigma_M^2} et {\sigma_S^2}

On pose {D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,1)} et, pour {x\ne0}, {\sigma_M^2(x)=\frac{x^TDx}{\|x\|^2},\quad\sigma_S^2(x)=\frac{x^TL_Ax}{\|x\|^2}.}

On admet l’équivalence analogue pour la valeur maximale {\lambda_N}.

II. Région de faisabilité

On définit {\mathcal R\!=\!\{(s,m)\!\in\!\mathbb R_+^2,\,\exists x\ne0,\,\sigma_S^2(x)\!=\!s,\,\sigma_M^2(x)\!=\!m\}}La figure illustre cette région pour une valeur de {N}.

III. La courbe d’incertitude {\gamma_-}

On définit ainsi {\gamma_-:[0,\lambda_N]\to\mathbb R_+} par {\gamma_-(s)=\min_{\|x\|=1,\ \sigma_S^2(x)=s}\sigma_M^2(x)}.

Partie D — Formule explicite pour {\gamma_-}

Pour {\alpha\in\mathbb R}, on pose {M(\alpha)=D-\alpha L_A}, puis {\mu_\alpha^-=\min\operatorname{Sp}(M(\alpha))} et {\mu_\alpha^+=\max\operatorname{Sp}(M(\alpha))}.

On fixe désormais {\alpha\ne0}.

Pour {\theta\in\mathbb R}, on considère le vecteur unitaire {x(\theta)=\left(\cos\theta,\frac{\sin\theta}{\sqrt{N-1}},\ldots,\frac{\sin\theta}{\sqrt{N-1}}\right).}