2025-X-Ens-MpB-Corrigé

École polytechnique — 2025

Mathématiques B — Filières MP–MPI

Pour une fonction dérivable à tout ordre, on note {f^{(n)}} sa dérivée d’ordre {n}, avec {f^{(0)}=f}. On note {\mathbb R_n[X]} l’espace des polynômes de degré au plus {n}, et {\mathbb R_{-1}[X]=\{0\}}. Un polynôme unitaire a pour coefficient dominant {1}.

On note {W^\perp} l’orthogonal d’un sous-espace dans un espace euclidien, {\mathcal M_{m,n}(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles de taille {m\times n}, {\mathcal M_n(\mathbb R)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb R)} et {M^T} la transposée de {M}.

Les trois premières parties sont indépendantes ; leurs résultats pourront être utilisés dans la quatrième.

Première partie

Soient {a\lt b} et {h\in C^\infty([a,b],\mathbb R)}. Pour {N\geq1}, on dit que {h} s’annule à l’ordre {N} dans {[a,b]} s’il existe {a\leq c_1\lt \cdots\lt c_m\leq b} et des entiers {k_i\geq1}, de somme {N}, tels que {h^{(k)}(c_i)=0} pour {0\leq k\lt k_i}.

On fixe {f\in C^\infty([a,b],\mathbb R)} et un polynôme non nul {P}, scindé, dont les racines sont {a\lt t_1\lt \cdots\lt t_m\lt b}. On note {k_i} la multiplicité de {t_i}, c’est-à-dire le plus petit entier tel que {P^{(k_i)}(t_i)\ne0}.

Pour {t\notin\{t_1,\ldots,t_m\}}, on pose {Q(f,P)(t)=\frac{f(t)-H(f,P)(t)}{\prod_{i=1}^m(t-t_i)^{k_i}}.}

On fixe {t\in[a,b]\setminus\{t_1,\ldots,t_m\}} et on pose, pour {s\in[a,b]}, {Q_t(s)\!=\!f(s)\!-\!H(f,P)(s)\!-\!Q(f,\!P)(t)\prod_{i=1}^m(s\!-\!t_i)^{k_i}}

Une fonction {h} est absolument monotone sur {[a,b]} si elle est {C^\infty} et si {h^{(n)}\geq0} pour tout {n\geq0}.

Deuxième partie

On fixe {n\geq2}, {I=[-1,1]} et une fonction continue {f:I\to]0,+\infty[}. On pose {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(x)Q(x)f(x)\,dx.}Soit {D\in\mathbb R_n[X]} ayant {n} racines distinctes {r_1>\cdots>r_n} dans {I}, et orthogonal à {\mathbb R_{n-1}[X]}.

Pour {0\leq j\leq n-1}, on pose {f_0=1}, {f_j(t)=\prod\limits_{i=1}^j(r_i-t)} et {\langle P,Q\rangle_j=\langle P,Qf_j\rangle}.

Dans les questions 8 à 12, on fixe {0\leq j\leq n-1}.

Pour {0\leq i\leq n-j-1}, on définit {\alpha_i} par {q_{i+1}(r_{j+1})+\alpha_iq_i(r_{j+1})=0} et l’on pose {p_i=\frac{q_{i+1}+\alpha_iq_i}{X-r_{j+1}}.}On écrit {p_i=\sum\limits_{\ell=0}^ic_\ell q_\ell}.

Troisième partie

Pour {\lambda>0} et {|x|,|r|\lt 1}, on pose {F_\lambda(x,r)=(1-2rx+r^2)^{-\lambda}}.

On note {a_n^{(\lambda)}(x)} les coefficients définis par {F_\lambda(x,r)=\sum\limits_{n\geq0}a_n^{(\lambda)}(x)r^n} près de {r=0}.

On suppose désormais {\lambda>1/2} et l’on pose {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(x)Q(x)(1-x^2)^{\lambda-1/2}\,dx.}

Quatrième partie

On note {S^{n-1}=\{x\in\mathbb R^n:x\cdot x=1\}} et {S_n^+} l’ensemble des matrices symétriques réelles telles que {X^TMX\geq0} pour tout {X\in\mathbb R^n}.

Pour {N\geq2}, une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} est de type positif en dimension {N} si, pour tout {k\geq1} et tous {x_1,\ldots,x_k\in S^{N-1}}, la matrice {(f(x_i\cdot x_j))} appartient à {S_k^+}.

Pour {A=(a_{i,j})} et {B=(b_{i,j})}, on note {A\odot B=(a_{i,j}b_{i,j})}.

On rappelle l’existence du polynôme {T_n} de degré {n} tel que {T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)}.

On admet que, pour {N\geq4} et {n\geq0}, le polynôme {a_n^{(N/2-1)}} est de type positif en dimension {N}.

Un polynôme {P} est dit {N}-conductif si, pour toute fonction absolument monotone {f} sur {[-1,1]}, le polynôme {H(f,P)} est de type positif en dimension {N}. Les polynômes considérés pour cette définition sont ceux pour lesquels l’interpolation de la première partie est définie.

On fixe {N\geq4} et {n\geq2}. On admet que {a_n^{(N/2-1)}} possède {n} racines simples {r_1>\cdots>r_n} dans {]-1,1[}. Soit {f} absolument monotone sur {[-1,1]}.