Mines-Ponts 2025 — Mathématiques I — MP
Inégalités de Khintchine
Notations et résultats admis
On fixe {n\geq1}. L’énoncé se place sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathcal P(\Omega),\mathbb P)}. On note {L^0(\Omega)} l’espace des variables aléatoires réelles, dont les images sont donc finies. Les variables égales presque sûrement sont identifiées.
On note {\mathbb E(X)} l’espérance de {X}. Une variable de Rademacher prend les valeurs {-1} et {1}, chacune avec probabilité {1/2}.
Pour {p\in[1,+\infty[}, on pose {\|X\|_p=(\mathbb E|X|^p)^{1/p}} et l’on admet qu’il s’agit d’une norme. On utilise aussi, sur {\mathbb R^m},
{\|(x_1,\ldots,x_m)\|_p^{\mathbb R^m}=\left(\sum_{i=1}^m|x_i|^p\right)^{1/p}.}On note {\mathbb R^{(\mathbb N)}} l’espace des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. On admet que {\langle u,v\rangle=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}u_iv_i} y est un produit scalaire.
Inégalité de Hölder
Soient {p,q\gt1} tels que {1/p+1/q=1}, et {X,Y\in L^0(\Omega)} positives.
1. Montrer que {xy\leq x^p/p+y^q/q} pour tous {x,y\geq0}.
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2. En déduire l’inégalité de Hölder :
{\mathbb E(XY)\leq(\mathbb E(X^p))^{1/p}(\mathbb E(Y^q))^{1/q}.}On pourra commencer par le cas {\mathbb E(X^p)=\mathbb E(Y^q)=1}.
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3. Quelle inégalité retrouve-t-on pour
{p=q=2} ?
En donner une preuve directe.
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Une inégalité de déviation
Soient {X_1,\ldots,X_n} des variables de Rademacher indépendantes.
4. Montrer que {\operatorname{ch}t\leq e^{t^2/2}} pour tout {t\in\mathbb R}.
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5. Montrer que, pour
{t\geq0} et
{(c_1,\ldots,c_n)\in\mathbb R^n},
{\mathbb E\exp\left(t\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)\leq\exp\left(\frac{t^2}2\sum_{i=1}^nc_i^2\right).}
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6. Montrer que, pour
{t,x\geq0} et
{c\in\mathbb R^n},
{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbb P\left(\exp\left(x\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|\right)\gt e^{tx}\right)\\[8pt]\quad\displaystyle\leq2e^{-tx}\exp\left(\frac{x^2}2\sum_{i=1}^nc_i^2\right)\end{array}}On pourra utiliser l’inégalité de Markov.
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7. Montrer que, pour
{t\geq0} et
{c\in\mathbb R^n\setminus\{0\}},
{\mathbb P\left(\left|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right|\gt t\right)\leq2\exp\left(-\frac{t^2}{2\sum_{i=1}^nc_i^2}\right).}
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Inégalités de Khintchine
On fixe désormais {p\in[1,+\infty[}, des Rademacher indépendantes {X_1,\ldots,X_n} et {c\in\mathbb R^n}.
8. Pour une variable réelle positive finie
{X}, on pose
{F_X(t)=\mathbb P(X\gt t)}, pour
{t\geq0}. Montrer que
{\int_0^{+\infty}t^{p-1}F_X(t)\,dt} converge et que
{\mathbb E(X^p)=p\int_0^{+\infty}t^{p-1}F_X(t)\,dt.}
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9. On suppose
{\sum\limits_{i=1}^nc_i^2=1}. Montrer que
{\int_0^{+\infty}t^3e^{-t^2/2}\,dt} converge, puis que
{\mathbb E\left(\left(\sum_{i=1}^nc_iX_i\right)^4\right)\leq8\int_0^{+\infty}t^3e^{-t^2/2}\,dt.}
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10. Montrer que {\mathbb E((\sum\limits_{i=1}^nc_iX_i)^2)=\sum\limits_{i=1}^nc_i^2}.
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11. Montrer qu’il existe
{\beta_p\gt0} tel que
{\left\|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right\|_p\leq\beta_p\left\|\sum_{i=1}^nc_iX_i\right\|_2.}
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12. Pour {p\geq2}, montrer que {\|\sum\limits_i c_iX_i\|_2\leq\|\sum\limits_i c_iX_i\|_p}.
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Dans les questions 13 à 15, on suppose {1\leq p\lt2}.
13. Justifier qu’il existe {\theta\in]0,1[} tel que {1/2=\theta/p+(1-\theta)/4}.
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14. Montrer que, avec
{S=\sum\limits_i c_iX_i},
{\mathbb E(S^2)\leq(\mathbb E|S|^p)^{2\theta/p}(\mathbb E|S|^4)^{(1-\theta)/2}.}
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15. Montrer qu’il existe {\widetilde\alpha_p\gt0} tel que {\widetilde\alpha_p\|S\|_2\leq\|S\|_p}.
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16. En déduire qu’il existe un réel {\alpha_p} tel que {\alpha_p\|S\|_2\leq\|S\|_p}.
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Une première conséquence
L’énoncé considère maintenant une suite infinie {(X_i)_{i\in\mathbb N}} de Rademacher indépendantes.
17. Montrer que {\varphi(X,Y)=\mathbb E(XY)} est un produit scalaire sur {L^0(\Omega)}.
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18. Pour
{u\in\mathbb R^{(\mathbb N)}}, on pose
{\psi(u)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}u_iX_i}.
Montrer que {\psi} prend ses valeurs dans {L^0(\Omega)} et conserve le produit scalaire.
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19. On pose
{R=\psi(\mathbb R^{(\mathbb N)})}.
Montrer que, pour tous {p,q\in[1,+\infty[}, les normes {\|\cdot\|_p} et {\|\cdot\|_q} sont équivalentes sur {R}.
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Une deuxième conséquence
On suppose désormais {n=2^k}, avec {k\geq1}.
20. Pour
{a=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb R^k}, montrer que
{\alpha_1n\|a\|_2\leq\sum_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}\left|\sum_{i=1}^k\varepsilon_i a_i\right|\leq\beta_1n\|a\|_2.}On pourra utiliser Q11 et Q16.
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21. En déduire qu’il existe un sous-espace
{F\subset\mathbb R^n}, de dimension
{k}, tel que
{\forall x\in F,\quad\alpha_1\sqrt n\|x\|_2\leq\|x\|_1\leq\beta_1\sqrt n\|x\|_2.}On pourra ordonner les éléments de {\{-1,1\}^k} et considérer {T(a)=(\sum\limits_{i=1}^ka_i\varepsilon_i)_{\varepsilon\in\{-1,1\}^k}}.
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